Наличие функциональной зависимости является свойством схемы, а не того или иного экземпляра отношения, и отражает семантику моделируемой предметной области.

 

Ключи отношения с точки зрения функциональной зависимости. Примеры

Набор К атрибутов отношения R называется суперключом отношения R, если все атрибуты R функционально зависит от К.

 

Набор К атрибутов отношения R называется возможным ключомотношения R, если верно, что:

o все атрибуты отношения R функционально зависит от К;

o ни один атрибут из набора К не может быть удален без нарушения свойства (а).

 

Формальное определение возможного ключа. Пусть М – полный набор атрибутов отношения R Подмножество атрибутов К отношения R является возможным ключом, если

· "А Í М R.K ® R.A

· "К' Ì K $B Í M R.K' ® R.B

Утверждение:Любое отношение имеет возможный ключ.

 

 

Свойства функциональных зависимостей. Примеры.

 

Свойства
1),2),3)составляют систему аксиом Армстронга

 

 

1) Транзитивность : если A ® B и B ® C, то A ® C.
2) Проективность: если B Í A, то A ® B
3) Аддитивность (объединение): если A® B и A® C, то A® (B,C)
4)Рефлексивность: A ® A.
5)Псевдотранзитивность: если А® В и (В,С)® D, то (A,C)®D
6) Продолжение: если А ® В, то (А, С) ® В для любого атрибута С.
7) Пополнение: если А ® В, то (А, С) ® (В, С) для любого атрибута С.
8) Декомпозиция: если А ® В и С Í В, то А ® С

 

Логическое следование функциональных зависимостей. Примеры

Пусть в отношении R имеется множество функциональных зависимостей F и конкретная зависимость А ® С, которая не входит в F. Зависимость А ® С логически следует из зависимостей F, если она может быть выведена из F с помощью аксиом функциональных зависимостей. Также говорят, что зависимость
А ® С выводима из F.

 

Например, если в R(A, B, C) и множество F состоит из А ® В, то из нее логически следуют (выводимы) следующие зависимости:

 

(А, С) ® В- применяется свойство продолжения;

(А, С) ® (В, С)- применяется свойство пополнения.

 

Замыкание, полнота, эквивалентность и минимальное покрытие функциональных зависимостей. Примеры

Пусть в отношении R имеется множество FD F. Множество всех FD, являющихся следствием (выводимыми) из F, называется (логическим) замыканием F, которое обозначается через F⁺. Очевидно, что F Í F⁺ и F⁺ = F⁺⁺.

Множество FD F образует полное семейство зависимостей, если F = F⁺.

Множества FD F и G (логически) эквивалентны, если F⁺ = G⁺.

 

Пусть задано множество FD F. Говорят, что множество FD G образует базис зависимостей F или, то же самое, образует минимальное покрытие F, если G является таким минимальным подмножеством F, что G⁺ =F⁺.

 

Неполная (частичная) функциональная зависимость и вторая нормальная форма. Примеры

 

Пусть в отношении R имеются наборы атрибутов А и В. Зависимость R.A ® R.B называется полнойесли В не зависит функционально ни от какого поднабора С Ì А, не содержащего В.

· Атрибут К-ВО полно функционально зависит от (НТ, НП, ДАТА)

· Атрибуты ИМЯ и ГОРОД полно функционально зависят от НП

· Атрибуты ИМЯ и ГОРОД не полно функционально зависят от (НТ, НП, ДАТА

 

 

Аномалии вставки, удаления, замены при наличии неполной FD

· Аномалия обновления. При необходимости изменения города покупа-
теля следует помнить, что сведения о покупателе могут повторяться.

· Аномалия вставки. При необходимости включения сведений о новом
покупателе (Игнатов) это можно будет сделать только тогда, когда он
сделает первую покупку.

· Аномалия удаления. При удалении сведений о покупке (Петрова)
удаляются сведения и о его покупателе. Если же эти сведения о
покупателе в единственном числе, то они теряются в базе данных

Вторая нормальная форма (2NF)

Отношение находится во второй нормальной форме, если оно находится в первой нормальной форме и все его неключевые атрибуты функционально полно зависят от возможного ключа.

Теорема (Хита). Отношение R с наборами атрибутов А, В, С ,
где R.A ® R.B, является естественным соединением проекций
R[A, B] и R[A, C].

 

Такое разбиение называется бинарной декомпозицией.

Алгоритм приведения к 2NF. Пусть R имеет множество атрибутов M. Если в R имеется неполная FD R.A ® R.B неключевого атрибута
B от возможного ключа А, то R разбивается на два отношения:
R1[A, B] и R2[M - B]. Если результирующие отношения все еще не находятся в 2NF, то к ним опять применяется этот алгоритм.

 

Пример приведения в 2NF

 

Пример приведения в 2NF – итоги

· Исходное отношение содержит информацию о двух
сущностях, результирующие – каждое по одной сущности.

· Результирующие отношения не содержат аномалий
вставки, удаления, замены.

· Исходное отношение можно восстановить из
результирующих с помощью операции естественного
соединения.

· При таком разбиении не теряются функциональные
зависимости (то есть зависимости исходного и
результирующих отношений эквивалентны)

 

Транзитивная зависимость и третья нормальная форма. Примеры.

 

В отношении R присутствует транзитивная зависимость, если в нем имеются такие наборы атрибутов А, В, С, С ËВ, В ËА что:

4 А ® В, В ® С; при этом В ® А

1) Условие В ® А необходимо, чтобы исключить тривиальную транзитивную зависимость типа следующей:

2) Условия С ËВ, В ËА необходимы, чтобы исключить следующие тривиальные транзитивные зависимости: