Побудова математичної моделі прогнозу необхідної кількості сировини

Розглянемо більш докладно модель сезонної хвилі, побудованої на основі гармонійного аналізу.

Нехай - тимчасовий ряд, що описує зміни показника y_t «коливального характеру», t= . Крім того, нехай y(t) – передбачувана теоретична залежність, що відповідає експериментальній.

Функцію y(t) у досліджуваному інтервалі часу можна при виконання деяких умов представити нескінченним рядом синусоїдальних і косінусоідальних функцій (ряд Фур'є), наприклад, якщо функція кусочно-монотонна й обмежена (умови Дирихлє).

Перша гармоніка має період, рівний довжині досліджуваного періоду. Друга гармоніка має період, рівний половині основного, третя – однієї третини основного і т.д. Узагалі якщо є р спостережень, то число гармонік не буде перевищувати . Для функції «коливального характеру» як правило їх потрібно визначити менше, також функції добре описуються декількома першими гармоніками.

Записуємо y(t) у вигляді суми гармонік:

 

(1.3)

 

Коефіцієнти А_i, B_i та а₀ оцінюються за методом найменших квадратів:

 

(1.4)

 

Одержання формул для коефіцієнтів полегшується завдяки властивості ортогональності:

 

(1.5)

 

Подібної ж рівності мають місце, якщо обидва члени замінені косинусами, якщо один член замінений косинусом, то сума в лівій частині (1.5) дорівнює 0.

Позначимо:

 

Оцінки параметрів A_i, B_i та a₀ знаходиться із системи рівнянь (1.6):

 

j= .

Оцінки параметрів A_i, B_i та a₀ мають вигляд:

 

a₀ = , (1.7)

A_i = , (1.8)

B_i = , (1.9)

 

якщо .

При , А =0, У = .

Після цього, знайдені оцінки (1.7), (1.8), (1.9) підставляємо в (1.3) та використовуємо вираження y(t) для прогнозу. Наприклад, прогноз на момент t=p+1 дорівнює:

Y(p+1)=a₀+ (1.10)

Модель сезонної хвилі на основі гармонійного аналізу можна використовувати не тільки для короткострокового прогнозування, але і для довгострокового (наприклад, на квартал, рік і т.д.).

Алгоритм методу простий в обчислювальному відношенні: по заданому тимчасовому ряді варто лише розрахувати оцінки параметрів A_i, B_i та a₀, моделі сезонної хвилі (1.3).

Прогнозування необхідного обсягу сировини, з використанням розробленої математичної моделі

Розглянемо приклад. Задані числові дані об’єму сировини, які були взяті у поточному періоді. Потрібно спрогнозувати необхідний об’єм сировини та максимальну похибку прогнозу.

Як часовий ряд візьмемо об’єм сировини за 2009 р. по місяцях (таблиця 1.1).

Таблиця 1.1 – Обсяги сировини, що споживалася по місяцях у 2009 р., млн. т.

Місяць	Обсяги споживання
	7,18
	7,80
	5,91
	6,27
	7,23
	6,19
	6,89
	6,35
	5,91
	5,96
	7,07
	6,94

 

Для того, щоб оцінити точність прогнозу, складеного на основі гармонійного аналізу, для побудови моделі використовуємо значення, складемо прогноз і порівняємо з реальними даними.

Довжина часового ряду буде дорівнює 12, кількість гармонік візьмемо 3.

Обчислимо значення а₀ за формулою (7):

 

а₀ =

=6,642

Далі згідно формул (8) та (9) обчислимо значення коефіцієнтів , :

= =0,289

= =0,239

= =0,069

= =0,233

= = 0,378

= = -0,071

 

Одержані данні занесемо до таблиці 1.2

Таблиця 1.2 – Значення коефіцієнтів моделі сезонної хвилі з 3-а гармоніками

i
	0,289	0,239	0,069
	0,233	0,378	-0,071

 

Визначимо значення ряду за формулою (1.3):

 

y(1)=6,642 + = 7,453

y(2)=6,642+ =7,098

y(3)=6,642+ =6,485

і так далі до y(12).

У таблиці 1.3 приводяться значення згладженого ряду і відхилення від фактичних даних.

Таблиця 1.3 – Порівняння розрахункових значень по моделі сезонної хвилі з 3-а гармоніками і фактичними значеннями за даними 2009 року

Місяці 2009 р.
Фактичне значення	7,18	7,8	5,91	6,27	7,23	6,19	6,89	6,35	5,91	5,96	7,07	6,94
Розрахункове значення	7,453	7,098	6,485	6,309	6,635	6,858	6,624	6,224	6,044	6,182	6,609	7,179
Відхилення, %	3,8	9,0	9,7	0,6	8,2	10,8	3,9	2,0	2,3	3,7	6,5	3,4

 

Середня помилка становить 10,8%, при складанні прогнозу з використанням 3-ох гармонік. Якщо ми отримаємо відхилення з більшим значенням чим 20% то потрібно брати більше гармонік та повторити обчислення, які були описані вище.

За даними таблиці 1.3 будуємо графік зображений на рис. 1.1.

Рисунок 1.1 Графік зміни фактичних вихідних даних та розрахованих (прогнозних) даних на 12 місяців 2009 року.

 

Тепер визначимо прогнозовану величину майбутньої потреби сировини:

 

y(13)=6,642+ =7,453млн.т.

Тобто, на прогнозний місяць підприємству для надійного функціонування необхідно закупити 7,453 млн.т. вихідної сировини. Не дивлячись на те, що при розрахунку можлива помилка складає 10,8%, вона в подальших розрахунках не враховується, оскільки невідомо в більшу чи меншу сторону буде відхилення. Отже одержана величина фактично відповідає середній кількості сировини необхідної для роботи.