Сформулируйте теорему Коши для пары дифференцируемых функций. Выведите из теоремы Коши утверждение теоремы Лагранжа.

Пусть функции f(x) и g(x)

1. непрерывны на отрезке [a, b];

2. дифференцируемы в интервале (a, b);

"x О (a, b) g'(x) ≠ 0.

Тогда существует точка c О (a, b) такая, что

.

Частным случаем теоремы Коши (при g(x) = x) является теорема Лагранжа.

Сформулируйте и докажите теорему о производной произведения двух функций.

Если 2 функции U и V дифференцированы в некоторой точке, то тогда ф-я, равная Y=U+V, также будет иметь производную, равную Y’=U’V+UV’

Док-во:

Y= =

Т.к. U(x₀+Dx)= U + DU = U(X₀)+DU, аналогично для V

Раскрываем скобки и группируем

Следует ли из существования производной функции в точке ее непрерывность в этой точке?

Если функция U=f(x) дифференцирована в некоторый точке x=x₀, то она непрерывна в этой точке.

Это условии необходимое, но недостаточное.

Доказательство: пусть функция u= f(x) дифференцирована, тогда существует = а, тогда = а+a(x ), где a(x) – б.м.

Тогда Dy=Dxа + Dxa(x), Dy = (f ’ (x₀) Dx +Dxa) = 0 в силу непрерывности.

№46 Дайте определение многочлена Тейлора ф-ции f(x) в точке x0. Чему равны его производные в этой точке? Укажите какой-либо многочлен P(x), удовлетворяющий условиям: .

Пусть ф-ция f(x) имеет n производных в точке x0. Многочлен называется n-многочленом Тейлора ф-ции f(x) в точке x0.

Найдем производные:

аналогично

таким образом, для любого n, от 1 до к, выполняется равенство:

 

41. признак монотонности дифференцируемой функции:

Промежутки монотонности ф-ции совпадают с промежутками постоянного знака её производной

42. определение локального экстремума функции одной переменной:

Точка x₀ называется точкой локального max [min] ф-ции f(x), если для всех x из некоторой окрестности точки x₀ выполняется неравенство

Локальный max и min объединяются общим названием локальны экстремум.

43. необходимое условие локального экстремума функции одной переменной:

Для того, чтобы дифференцируемая ф-ция f(x) имела в точке x₀ локальный экстремум необходимо, чтобы в этой точке выполнялось равенство . Если при переходе через точку х0 меняет знак с + на – (с – на +), то х0 – это локальный максимум (минимум).

.

44. точка перегиба функции:

пусть функция f(x) непрерывна в точке х0. Точка х0 называется точкой перегиба, если при переходе через нее кривая меняет направление выпуклости.

45. необходимое условие точки перегиба:

пусть функция f(x) непрерывна в точке х0. Точка х0 называется точкой перегиба, если при переходе через нее кривая меняет направление выпуклости (слева и справа от х0 знаки второй производной различны)

46. определение асимптот графика функций:

Асимптота графика функций y=f(x) - это прямая, расстояние до которой от точки (x,y) графика функций y=f(x) стремится к нулю, если хотя бы одна из координат (x,y) стремится к бесконечности. Асимптоты бывают вертикальными, наклонными и горизонтальными.

47. определение первообразной для функций y=f(x) на промежутке X:

Пусть задана функция f(x) на интервале (a,b). функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a,b), если F`(x)= f(x)для всех x принадлежащих (a,b).

48. определение неопределенного интеграла:

Совокупность всех первообразных функций f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается («интеграл эф от икс дэ икс»).

49. свойства неопределенного интеграла:

Формула замены переменной в неопределенном интеграле.

Если интеграл нельзя найти непосредственно, то в некоторых случаях можно применить метод замены переменной, положив х=ф(t), где ф(t)- непрерывно дифференцируемая монотонная функция. Справедливая формула замены переменной:

Формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла.

Пусть u(x) и v(x) – две дифференцируемые функции на промежутке Х. Тогда на Х выполняется формула интегрирования по частям

Определение определенного интеграла Римана.

Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке [a;b], то единственное число, разделяющее эти два множества называют определенным интегралом функции y=f(x) по отрезку[a;b] и обозначают следующим образом:

Достаточное условие интегрируемости.

Функция y=f(x) называется интегрируемой на этом отрезке, если существует единственное число I, разделяющее множества нижних и верхних сумм Дарбу для всевозможных разбиений отрезка [a;b].