Анализ динамики числа пожаров в городе за последние 5 лет

 

 

При анализе динамики числа пожаров в городе за последние 5 лет необходимо:

· определить показатели изменения уровней временного ряда числа пожаров за анализируемый период;

· выявить основную тенденцию ряда динамики, которая позволяет представить его изменение за анализируемый период в виде некоторой математической модели;

· получить прогнозную оценку числа пожаров в городе на следующий год.

l. Если исследованию подвергаются изменения определенной характеристики y со временем, то перечень значений этой характеристики в последовательные моменты или интервалы времени образует так называемый ряд динамики или временной ряд (соответственно различают моментные и интервальные временные ряды). Временные ряды могут быть образованы значениями абсолютных или относительных характеристик, либо значениями средних величин.

2. Значения изучаемой характеристики , образующие временной ряд, называют уровнями временного ряда. Первое и последнее из этих значений соответственно называют начальным и конечным уровнями ряда.

3. При анализе временных рядов используют комплекс специальных показателей, характеризующих изменчивость в уровнях ряда. К таким показателям относится абсолютный прирост, коэффициент (или темп) роста, коэффициент (или темп) прироста. Расчет этих показателей производится для каждого - го момента или интервала времени (t = 1, 2,..., N, где N -число анализируемых моментов или интервалов времени), которому соответствует эмпирическое значение изучаемой характеристики .

4. Абсолютный прирост показывает на сколько единиц увеличился или уменьшился рассматриваемый уровень ряда по сравнению с некоторым уровнем, принятым за базу для сравнения

(1)

В качестве базы для сравнения можно принять предшествующий, начальный или средний уровни ряда. Значения абсолютного прироста могут быть положительными (при > ), отрицательными (при < , в данном случае можно говорить об абсолютной убыли) либо равными нулю (при = ).

5. Коэффициент роста определяется как отношение рассматриваемого уровня ряда к уровню, принятому за базу для сравнения

(2)

В зависимости от соотношений значений рассматриваемого и базового уровней значение коэффициента роста , может оказаться меньше единицы (при < ), равным единице (при = ) или больше единицы (при > ). Коэффициент роста, выраженный в процентах, называется темпом роста.

6. Коэффициент прироста определяется как отношение абсолютного прироста , к уровню, принятому за базу для сравнения :

. (3)

Значения могут быть положительными, отрицательными либо равными нулю в зависимости от значений абсолютного прироста.

Коэффициент прироста, выраженный в процентах, называется темпом прироста. Он показывает, на сколько процентов увеличилось или уменьшилось значение рассматриваемого уровня ряда по сравнению с базисным , принятым за 100%.

7. В качестве примера в табл. 10 представлены результаты расчета рассмотренных показателей для интервального временного ряда, отражающего динамику числа пожаров в городе за пять лет (N = 5). За базу для сравнения с тем или иным уровнем ряда , принят предшествующий уровень ряда ( = ). Вычисляемые при таком условии показатели , и (t = 1, 2,..., N) называются цепными.

 

Таблица 10

Показатели ряда динамики числа пожаров в городе за 5 лет

Показатели изменчивости ряда	Годы t
Число пожаров за год
Абсолютный прирост	–	-6	+42	+12	+26
Коэффициент роста	–	0,976	1,170	1,042	1,087
Темп роста, %	–	97,6	117,0	104,2	108,7
Коэффициент прироста	–	-0,023	0,17	0,042	0,087
Темп прироста, %	–	-2,3		4,2	8,7

 

Абсолютный прирост: Аt=yt-yбаз

2. Аt=246-252=6

3. Аt=288-246=42

4. Аt=300-288=12

5. Аt==326-300=26

 

Коэффициент роста Нt=yt/yбаз

2. Нt=246/252=0,976

3. Нt=288/246=1,170

4. Нt=300/288=1,042

5. Нt=326/300=1,087

 

Коэффициент прироста Вt=At/yбаз

2. Вt=-6/252=-0,023

3. Вt=42/246=0,17

4. Вt=12/288=0,042

5. Вt=26/300=0,087

 

8. При анализе временных рядов используются также следующие обобщенные показатели:

средний уровень ряда, вычисление которого производится по форму­ле:

; (4)

дисперсия ряда, по значению которой можно оценить разброс значений уровней ряда вокруг их среднего уровня, вычисляется по форму­ле:

арстве; (5)

стандарт ряда (среднеквадратичное отклонение), вычисляемый как

; (6)

коэффициент вариации ряда, который является относительной ме­рой рассеяния значений уровней ряда вокруг их среднего уровня и вычис­ляется по формуле:

. (7)

9. Для временного ряда, представленного в табл. 10, значения пере­численных обобщенных показателей оказались следующими:

пожаров/год;

;

.

10. Эффективным способом выявления основной тенденции процес­са изменения уровней временного ряда является его математическое моде­лирование. При этом уровни ряда выражаются в виде функции времени

. (8)

11. Если характер динамики подтверждает предположение о том, что наблюдаемое в t -м году число пожаров в городе (t = 1, 2,...., N, где N -число анализируемых лет) изменяется с течением времени с более или ме­нее постоянной абсолютной скоростью, то математическим выражением такой тенденции будет являться линейная зависимость вида:

, (9)

где - расчётное значение числа пожаров в t – м году; а и b – коэффициенты; t - номер года.

 

12. Для нахождения неизвестных коэффициентов используется метод наименьших квадратов. Согласно этому методу, коэффициенты уравнения (9) вычисляются таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений , от расчетных значений , была минимальной, т.е. отвечала условию:

. (10)

Чтобы найти неизвестные коэффициенты а и b, следует воспользо­ваться тем фактом, что в точке экстремума (в данном случае в точке мини­мума) производная функции равна нулю. Для этого нужно приравнять ну­лю частные производные:

; (11)

, (12)

что дает для определения коэффициентов а и b систему линейных уравнений

(13)

Решая эту систему, получаем уравнения для нахождения коэффици ентов а и b :

(14)

 

(15)

Зная величины коэффициентов а и b и предполагая, что имеющаяся тенденция изменения числа пожаров в городе останется неизменной, мож­но вычислить прогнозную оценку числа пожаров в интересующем году, подставив в уравнение (9) номер этого года.

 

13. В качестве примера, выполним прогнозирование числа пожаров в городе на год вперед по вышеуказанным исходным данным числа пожаров в городе за последние 5 лет.

Для выявления тенденции изменения числа пожаров в городе используем аналитическое выравнивание временного ряда в виде зависимости (9). Для нахождения коэффициентов а и b воспользуемся формулами (14) и (15), предварительно составив вспомогательную табл. 11.

Таблица 11

Вспомогательная таблица для вычисления коэффициентов а и b

 

t	t^2		t

Подставляя числовые значения из итоговой строки табл. 11 в уравнения (15) и (14), находим значения коэффициентов:

Используя уравнение (9), определяем ориентировочное значение числа пожаров в городе в следующем году (t = 6):

.

14. Наносим на график эмпирические значения числа пожаров за прошедшие 5 лет, выровненные уровни этого временного ряда и прогнози­руемое значение для шестого года (рис. 1).

15. По результатам расчетов делаем вывод. Для рассматриваемого примера можно констатировать, что, несмотря на ежегодные колебания цепных показателей изменчивости временного ряда, наблюдается тенденция роста числа пожаров в городе. Этот факт необходимо будет учесть при обосновании требуемого количества сил и средств ПП города на перспективу.

Рис.1. Динамика числа пожаров по годам