Тема 30: Отрицание суждений.

Отрицание суждения в логике — это замена существующей связки внутри сложного высказывания на другую, противоположную последней. Если мы говорим о формуле, в которой можно выразить отрицание сложных суждений, то нужно отметить, что отрицание графически выражается как горизонтальная черта над отрицаемым суждением. Таким образом, мы получим два понятия, объединенных логической связкой, над которыми проведена горизонтальная черта. Если такая черта уже есть, то для осуществления отрицания необходимо такую черту удалить.

Все сказанное выше относится к операциям, производимым с применением конъюнкции и дизъюнкции. Однако сказанное выше не означает, что отрицание сложных суждений возможно,

только если они содержат исключительно связки конъюнкцию и дизъюнкцию. В случае, если необходимо осуществить операцию отрицания по отношению к суждению, содержащему импликацию, необходимо заменить это суждение так, чтобы при отсутствии каких-либо его изменений отбросить импликацию. Это означает, что необходимо подобрать суждение, эквивалентное данному, которое при этом не содержало бы импликации. Когда мы говорим о суждении, эквивалентном содержащему импликацию, но не содержащему ее, подразумевается замена этой связки на конъюнкцию или дизъюнкцию. Графически это выглядит как (a →b) ≡(∨b). Затем производится описанная выше операция, при которой знак конъюнкции меняется на дизъюнкцию, и наоборот. Обычно в речи выражение отрицания сводится к добавлению приставки «не». Действительно, так как указанная приставкаявляется отрицательной, ее применение для установления противоположности вполне оправдано.

Необходимо упомянуть о законах де Моргана. Они применяются в процессе отрицания сложных суждений и имеют формульное выражение. Таких законов и, соответственно, формул всего четыре:

1) a ^ b ≡ ∨b;

2) a ^ b ≡ a ∨ b;

3) a ∨ b ≡ a ^ b;

4) a ∨ b ≡ a ^ b.

Рассмотрев сказанное выше, можно отметить, что отрицание сложного суждения, где содержится конъюнкция или дизъюнкция, является «простым» вариантом, при котором достаточно лишь операции отрицания.

Формула, образованная при помощи законов де Моргана, выглядит следующим образом:

(^ b) ∨ (c ^ e) ≡ (a ∨ b) ^ (c ∨ e).

Приведем примеры операции отрицания. Отрицание сложного суждения, в котором нет импликации: «Я закончу работу и пойду гулять и зайду в магазин» — «Я закончу работу, но не пойду гулять и не зайду в магазин». Отрицание сложного суждения, в котором необходимо сначала изменить импликацию на конъюнкцию или дизъюнкцию, можно проиллюстрировать следующим примером: «Если я куплю машину, то поеду за город или заверну на дачу» — «Я куплю машину, но не поеду за город и не заверну на дачу». В этом примере мы для удобства опустили этап исключения импликации. Необходимо сказать, что суждения, отрицающие друг друга, не могут быть одновременно истинными или ложными. Ситуация противоречия или отрицания характеризуется тем, что одно из противоречащих понятий всегда истинно, а другое при этом ложно. Другого положения в этом случае быть не может.

Нельзя отождествлять операцию отрицания, в результате которой образуется новое суждение, от отрицания, являющегося частью отрицательных суждений. Отрицание суждений может производиться как в отношении всего суждения, так и его частей и выражается словами «не является», «не суть», «не есть», а также «неверно» и др. Исходя из сказанного можно сделать вывод, что есть два вида отрицания — внутреннее и внешнее. Как нетрудно догадаться, внешнее отрицает все суждение в целом. Например, «Некоторые солдаты не являются десантниками» — это внутреннее отрицание, в то время как суждение «Неверно, что Луна является планетой» — это отрицание внешнее. Таким образом, внешнее отрицание — это отрицание всего суждения в целом,

тогда как внутреннее показывает факт противоречия или несоответствия предиката субъекту. В виде формул можно отобразить следующие виды отрицательных суждений: «все S есть Р» и «некоторые S не есть Р» (это общие суждения); «ни одно S не является Р» и «некоторые S являются Р» (частные суждения). Последний вид отрицательных суждений выглядит как «это S является P» и «это S не является Р» (суждения, называемые единичными).