Б2. 1. Банахово пространство

Б2. 1. Банахово пространство

 

2.3.4.5.6.

 

 

Б2. 7. Сингулярные функции

Сингулярная функция — это непрерывная функция, производная которой равна нулю почти всюду.

Исторически первым примером сингулярной функции является Канторова лестница.

Существуют другие примеры сингулярных функций. Например, и функция Минковского, множество точек роста которых заполняет полностью отрезок .

Сингулярная функция встречается, к примеру, при изучении последовательности пространственно модифицированных фаз или структур в твёрдых телах и магнетиках, описываемых в модели Френкеля — Конторовой.

Сингулярной обобщенной функции являтся функция Дирака

Отличная от постоянной непрерывная функция с конечным изменением, производная которой почти везде равна нулю, называется сингулярной функцией.

 

Б2. 8. Обобщенные производные

Лемма 1. Если есть обычная производная, определённая в каждой точке , тогда является обобщённой производной от порядка .

Лемма 2. Обобщённая производная определяется с точностью до эквивалентности.

Обобщённые производные сохраняют некоторые свойства обычных производных:

1) Если и имеют обобщённую производную в , то также имеет обобщённую производную в при этом

2) Если есть обобщённая производная вида , а есть обобщённая производная вида , то есть обобщённая производная от

3) Из определения обобщённой производной следует, что она независит от порядка дифференцирования.

3) Другим важным отличием обобщённых производных от классических является то, что обобщённые производные определяются с точностью до множества меры ноль.

Б2. 9. Счетные множества

Одним из немаловажных понятий теории множеств является понятие счетного множества. Но прежде чем ввести это понятие, необходимо усвоить и разъяснить некоторые элементарные понятия и определения.

Определение 1. Множество называется конечным, если количество элементов этого множества есть конечное число. Если же количество элементов множества есть число бесконечное, то множество называется бесконечным.

 

 

Б2. 12. Пространства Лебега

 

Рассмотрим один важнейший вид банаховых пространств.

Зафиксируем действительное число и некоторый отрезок [a, b]. Рассмотрим на [a, b] множество всех комплекно значных функций f(x), для которых существует . Операции сложения функций и умножения функции на комплексное число определим обычным образом. Норму определим как

Полученные таким образом пространства (ниже мы убедимся, что эти пространства банаховы при любом ) называют лебеговыми пространствами или классами Лебега** и обозначают

Вообще говоря, в современной математике используются несколько различных понятий определенного интеграла. Наиболее употребимыми из них являются интеграл Римана (именно его обычно изучают в классическом курсе анализа) и интеграл Лебега. Как явствует из самого названия, при рассмотрении классов Лебега используется интеграл Лебега.

Понятие интеграла Лебега - более общее, чем интеграла Римана. Функция, интегрируемая на [a, b] по Риману, интегрируема и по Лебегу (причем значения интегралов совпадают), но обратное, вообще говоря, неверно.

 

 

Б2. 15 Неравенство Чебышева

Определение:

Неравенство Чебышева является следствием Неравенства Маркова и утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к значению математического ожидания. Говоря более точно, оно дает оценку вероятности, что случайная величина примет значение, далекое от своего среднего.

Формулировка

Если , то будет выполнено

Доказательство

Для неравенство равносильно неравенству , поэтому

Следствие

Как следствие получим так называемое "правило трех сигм",которое означает, что вероятность случайной величины отличаться от своего математического ожидания более чем на три корня из дисперсии мала.

Рассмотрим такое утверждение:

Если , то

.

 

Доказательство: Согласно неравенству Чебышева

Отсюда заметим, что вероятность отклониться значению случайной величины от значения математического ожидания меньше чем

 

Доказательство.

Так как система векторов линейно зависима, то равенство возможно при наличии хотя бы одного ненулевого числа из чисел . Пусть .

Добавим к исходной системе векторов еще s векторов , при этом получим систему . Так как и , то линейная комбинация векторов этой системы вида

представляет собой нулевой вектор, а . Следовательно, полученная система векторов является линейно зависимой.

2. Если из линейно независимой системы векторов исключить несколько векторов, то полученная система будет линейно независимой.

Доказательство.

Предположим, что полученная система линейно зависима. Добавив к этой системе векторов все отброшенные векторы, мы получим исходную систему векторов. По условию – она линейно независима, а в силу предыдущего свойства линейной зависимости она должна быть линейно зависимой. Мы пришли к противоречию, следовательно, наше предположение неверно.

3. Если в системе векторов есть хотя бы один нулевой вектор, то такая система линейно зависимая.

Доказательство.

Пусть вектор в этой системе векторов является нулевым. Предположим, что исходная система векторов линейно независима. Тогда векторное равенство возможно только тогда, когда . Однако, если взять любое , отличное от нуля, то равенство все равно будет справедливо, так как . Следовательно, наше предположение неверно, и исходная система векторов линейно зависима.

4. Если система векторов линейно зависима, то хотя бы один из ее векторов линейно выражается через остальные. Если система векторов линейно независима, то ни один из векторов не выражается через остальные.

5. Доказательство.

Сначала докажем первое утверждение.

Пусть система векторов линейно зависима, тогда существует хотя бы одно отличное от нуля число и при этом верно равенство . Это равенство можно разрешить относительно , так как , при этом имеем

Следовательно, вектор линейно выражается через остальные векторы системы , что и требовалось доказать.

Теперь докажем второе утверждение.

Так как система векторов линейно независима, то равенство возможно лишь при .

Предположим, что какой-нибудь вектор системы выражается линейно через остальные. Пусть этим вектором является , тогда . Это равенство можно переписать как , в его левой части находится линейная комбинация векторов системы, причем коэффициент перед вектором отличен от нуля, что указывает на линейную зависимость исходной системы векторов. Так мы пришли к противоречию, значит, свойство доказано.

Из двух последних свойств следует важное утверждение:
если система векторов содержит векторы и , где – произвольное число, то она линейно зависима.

 

Б2. 20. Примеры ортонормированных базисов

· Стандартный базис

в n-мерном евклидовом пространстве R ⁿ является ортонормированным.

· Множество образует ортонормированный базис в L2([-π, π]).

 

· Примером ортонормированного базиса является стандартный базис пространства Rn (если скалярное произведение в Rn определить как сумму произведений одноименных компонент).

· Векторы i, j образуют ортонормированный базис в пространстве свободных векторов на плоскости. Точно так же векторы i, j, k образуют ортонормированный базис в пространстве.

· В гильбертовом пространстве L² [-p;p] функций суммируемых с квадратом модуля на отрезке [-p;p] функции 1, cos t, sin t, sin 2t,… образуют ортогональный базис. Однако эта система функций не является нормированной.

 

·

 

Б2. 21. Неравенство Бесселя

 

 

 

 

Б2. 1. Банахово пространство

 

2.3.4.5.6.

 

 

Б2. 7. Сингулярные функции

Сингулярная функция — это непрерывная функция, производная которой равна нулю почти всюду.

Исторически первым примером сингулярной функции является Канторова лестница.

Существуют другие примеры сингулярных функций. Например, и функция Минковского, множество точек роста которых заполняет полностью отрезок .

Сингулярная функция встречается, к примеру, при изучении последовательности пространственно модифицированных фаз или структур в твёрдых телах и магнетиках, описываемых в модели Френкеля — Конторовой.

Сингулярной обобщенной функции являтся функция Дирака

Отличная от постоянной непрерывная функция с конечным изменением, производная которой почти везде равна нулю, называется сингулярной функцией.