Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Б2. 19. Ортонормированный базис ⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4
Ортогональный (ортонормированный) базис — ортогональная (ортонормированная) система элементов линейного пространства со скалярным произведением, обладающая свойством полноты. Конечномерный случай Ортогональный базис — базис, составленный из попарно ортогональных векторов. Ортонормированный базис удовлетворяет еще и условию единичности нормы всех его элементов. То есть это ортогональный базис с нормированными элементами. Последнее удобно записывается при помощи символа Кронекера: то есть скалярное произведение каждой пары базисных векторов равно нулю, когда они не совпадают (), и равно единице при совпадающем индексе, то есть когда берется скалярное произведение любого базисного вектора с самим собой. Очень многое записывается в ортогональном базисе гораздо проще, чем в произвольном, поэтому очень часто стараются использовать именно такие базисы, если только это возможно или использование какого-то специального неортогонального базиса не дает особых специальных удобств. Или если не отказываются от него в пользу базиса общего вида из соображений общности. Ортонормированный базис является самодуальным (дуальный ему базис совпадает с ним самим). Поэтому в нём можно не делать различия между верхними и нижними индексами, и пользоваться, скажем, только нижними (как обычно и принято, если конечно при этом используются только ортонормированные базисы). Линейная независимость следует из ортогональности, то есть достигается для ортогональной системы векторов автоматически. Коэффициенты в разложении вектора по ортогональному базису: можно найти так: . Полнота ортонормированной системы векторов эквивалентна равенству Парсеваля: для любого вектора квадрат нормы вектора равен сумме квадратов коэффициентов его разложения по базису: Аналогичные соотношения имеют место и для бесконечномерного случая
Бесконечномерный случай Ортогональный базис — система попарно ортогональных элементов гильбертова пространства такая, что любой элемент однозначно представим в виде сходящегося по норме ряда называемого рядом Фурье элемента по системе . Часто базис выбирается так, что , и тогда он называется ортонормированным базисом. В этом случае числа , называются коэффициентами Фурье элемента по ортонормированному базису , имеют вид
. Необходимым и достаточным условием того, чтобы ортонормированная система была базисом, является равенство Парсеваля. Гильбертово пространство, имеющее ортонормированный базис, является сепарабельным, и обратно, во всяком сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис. Если задана произвольная система чисел такая, что , то в случае гильбертова пространства с ортонормированным базисом ряд — сходится по норме к некоторому элементу . Этим устанавливается изоморфизм любого сепарабельного гильбертова пространства пространству (теорема Рисса — Фишера).
Б2. 20. Примеры ортонормированных базисов · Стандартный базис в n-мерном евклидовом пространстве R n является ортонормированным. · Множество образует ортонормированный базис в L2([-π, π]).
· Примером ортонормированного базиса является стандартный базис пространства Rn (если скалярное произведение в Rn определить как сумму произведений одноименных компонент). · Векторы i, j образуют ортонормированный базис в пространстве свободных векторов на плоскости. Точно так же векторы i, j, k образуют ортонормированный базис в пространстве. · В гильбертовом пространстве L2 [-p;p] функций суммируемых с квадратом модуля на отрезке [-p;p] функции 1, cos t, sin t, sin 2t,… образуют ортогональный базис. Однако эта система функций не является нормированной.
·
Б2. 21. Неравенство Бесселя
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-22; просмотров: 1007; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.17.28.48 (0.041 с.) |