Для схемы замещения, приведенной на рисунке 1. 5, Направленный граф электрической сети имеет следующий вид.

 

Рис.1.6 Направленный граф электрической цепи для схемы замещения, приведенной на Рис. 1.5

 

Направленный граф характеризует конфигурацию – геометрический образ схемы. Для аналитического представления графа должны быть пронумерованы узлы, ветви, независимые контуры и выбрано направление обходов этих контуров. В рассматриваемой схеме выбирается балансирующий узел.

Геометрию графа можно записать в алгебраической форме с помощью двух матриц соединений или инциденций.

1.5.2 Первая матрица соединений (инциденций) М или матрица соединений ветвей в узлах

Онапредставляет собой таблицу, строки которой отвечают узлам направленного графа электрической сети, а столбцы — ветвям.

Узлы без балансирующего (1.1)

М =

ветви

 

При составлении матрицы М балансирующий узел опускается.

Каждая строка матрицы М отвечает одному узлу, а каждый столбец – одной из ветвей. Элементы матрицы М могут принимать одно из 3-х значений:

+1 – если ветвь j выходит из узла i, т.е. узел i является началом ветви j;

m_ij = -1 – если ветвь j входит в узел i, т.е. узел i является концом ветви j;

0 – если ветвь j не связана с узлом i.

Первый закон Кирхгофа в матричной форме

 

Найдем произведение первой матрицы соединений М и столбцевой матрицы токов в ветвях.

Столбцевая матрица токов в ветвях

Столбцевая матрица задающих токов

Сопоставив алгебраические суммы токов в строках матрицы произведения, видим, что они равны задающим токам в соответствующих узлах (см. выражения в начале п. 1.5). Первый закон Кирхгофа в матричной форме формулируется так: произведение первой матрицы соединений и матрицы – столбца токов ветвей равно матрице – столбцу задающих токов.

Первый закон Кирхгофа в матричной компактной форме:

. (1.2)

Матрица соединений (инциденций) ребра-пути Н.

Это матрица, строки которой соответствуют ребрам, а столбцы путям от корня графа (базисного узла) к узлам, где подключены нагрузки.

Элементы матрицы H — h_ij могут принимать два значения: 1 — если ветвь i входит в путь j и 0 — если ветвь i не входит в путь j. Так, для разомкнутой сети, приведенной на Рис 1.7, матрица ребра – пути имеет вид

ветви (ребра) (1.3)

пути

Пути от базисного узла к узлам с нагрузками

Пути	Соединения вершин	Ветви (ребра)
1- й путь	0-2	1,2
2 - й путь	0-3	1,3
3 - й путь	0-4

 

Матрицу H используют при определении в схеме токораспределения. По известным токам нагрузки в узлах можно рассчитать токи в ветвях, используя выражение

(1.4)

Здесь — матрица-столбец токов ветвей.