В результате получаем уравнение узловых напряжений в форме баланса токов в матричном виде для общего случая, когда в схеме замещения имеются и источники тока, и источники эдс.

Рассчитаем элементы матрицы узловых проводимостей для схемы замещения, приведенной на рис. 1.5, используя полученные выражения. При совпадении базисного и балансирующего узлов матрица узловых проводимостей обладает следующими свойствами:

1. Это матрица, симметричная относительно главной диагонали, т.е.

2. Строки и столбцы матрицы соответствуют независимым узлам схемы замещения.

3. Матрица может быть легко сформирована непосредственно по схеме замещения (без перемножения матриц ):

 

 

На главной диагонали этой матрицы, т.е. на пересечении строк и столбцов, относящихся к одним и тем же узлам, стоят элементы , равные суммам проводимостей ветвей, связанных с этими узлами (). Остальные элементы этой матрицы, находящиеся на пересечении i - й строки и j – го столбца, равны взятым со знаком «минус» проводимостям ветвей между узлами i и j схемы замещения.

При несовпадении базисного и балансирующего узлов, матрица узловых проводимостей оказывается несимметричной, и на её главной диагонали могут находиться нулевые элементы. Это приводит к тому, что с точки зрения организации вычислений с применением ПК узловые уравнения оказываются менее рациональными.

В связи с этим целесообразно совмещать базисный и балансирующий узел во всех случаях, когда это не противоречит классической постановке задачи расчета установившегося режима электрической системы.

Матричное уравнение нелинейно, поскольку здесь - матрица - столбец нелинейных источников тока.

Частные случаи записи узловых уравнений:

 

1. В схеме замещения отсутствуют задающие токи (J =0). Такая схема замещения используется для расчета токов короткого замыкания (КЗ) или электромеханических переходных процессов. В качестве базисного, совпадающего с балансирующим, берется узел земли (нейтрали). При этом ,

и . Тогда уравнение узловых напряжений (1.21) превратится в линейное и приобретет вид:

. (1.22)

Возникновение трехфазного короткого замыкания в каком-то из узлов определяется тем, что в матрице узловых проводимостей исключается строка и столбец, соответствующие этому узлу. Одновременно исключается соответствующая строка из матрицы-столбца правых частей.

После решения системы узловых уравнений (как правило, методом Гаусса) рассчитывают токи в ветвях

,

и ток в месте короткого замыкания согласно первому закону Кирхгофа, как сумму токов ветвей, примыкающих к точке КЗ.

В промышленных программах расчетов токов КЗ иногда используют метод наложения аварийного режима на нормальный предшествующий режим.

2. Узловое уравнение в форме баланса токов для схемы замещения, в которой отсутствуют ЭДС в ветвях ().

 

Матричное уравнение узловых напряжений в форме баланса токов (1.21) приобретает вид:

,

или, с учетом выражения для :

, .

Для частного случая — кольцевой сети найдем произведение матрицы узловых проводимостей на матрицу - столбец базисных напряжений .

Пусть узел 4 – базисный и балансирующий.

Тогда

где — матрица взаимных проводимостей между каждым независимым узлом и базисным узлом, её элементы, как и все взаимные проводимости в матрице Y _y, равны проводимостям соответствующих ветвей, взятым со знаком минус.

В результате получаем и матричное уравнение узловых напряжений в форме баланса токов для условий, когда ЭДС ветвей , приобретает вид

. (1.23)

 

В (1.23) - число. Это матричное уравнение нелинейно, т.к. для к-го узла - номера независимых узлов. Здесь имеет место нелинейность вида , когда x – неизвестные напряжения в узлах.

Алгоритм расчета установившегося режима методом узловых напряжений.

1. Формируется узловое уравнение в матричном виде (основная трудность – рассчитать элементы матрицы ).

2. Решается система узловых уравнений, так как она нелинейна, то:

· или численным методом решения систем нелинейных алгебраических уравнений,

· или уравнения линеаризуются (внешняя итерация), и несколько раз решается система линейных алгебраических уравнений.

В результате находятся напряжения в узлах (с наперед заданной точностью).

3. Рассчитывают токи ветвей

4. Рассчитываются мощности в начале и в конце каждой ветви

и потери мощности

в ветвях: - нагрузочные продольные потери,

суммарные нагрузочные продольные потери: . Кроме нагрузочных продольных есть еще поперечные потери холостого хода трансформаторов и потери активной мощности на корону.

Общие правила формирования нелинейных узловых уравнений установившегося режима электрической системы при задании мощности узлов такие:

1. Один из генераторных (активных) узлов, как правило, соответствующих мощной электростанции, принимается в качестве балансирующего, совпадающего с базисным.

2. Поперечные ветви схемы замещения учитываются только в диагональных элементах матрицы узловых проводимостей

 

 

 

Полученные системы уравнений нелинейные, и, следовательно, могут быть решены только итерационно.

Вопросы существования и единственности решения уравнений установившегося режима мы не рассматриваем, но можем утверждать, что согласно опыту практических расчетов для нормального режима электрической системы существует, как правило, одно технически допустимое решение.

Преобразование системы уравнений узловых напряжений с комплексными коэффициентами и неизвестными к системе с действительными коэффициентами и неизвестными.

 

При расчетах на ПК система n уравнений узловых напряжений с комплексными коэффициентами и неизвестными часто приводится к системе 2 n действительных уравнений порядка 2 n с действительными неизвестными и коэффициентами, поскольку обработка комплексных чисел арифметическим устройством компьютеров неэффективна (по времени).

Матрицу узловых проводимостей можно представить как сумму двух матриц — активных и реактивных проводимостей:

.

Аналогично представляем матрицу – столбец проводимостей ветвей между независимыми узлами и базисным узлом:

.

Комплексы напряжений и задающих токов в узлах также представим через их действительные и мнимые составляющие:

- в прямоугольной системе координат (см. рис.1.3),

Подставляем указанные величины в уравнение узловых напряжений (1.23) для второго частного случая отсутствия ЭДС в ветвях . Подобные преобразования представляют самостоятельный интерес, т.к. обработка комплексных чисел арифметическими устройствами ПК осуществляется неэффективно. Учитывается также, что в матрице узловых проводимостей , имеющей порядок , очень большое число нулевых элементов.

После перемножения соответствующих сомножителей и приравнивания отдельно действительных и мнимых частей получаем:

Эту систему можно записать в матричной форме, вспомнив о существовании клеточных матриц:

Поскольку диагональные элементы матрицы обычно больше соответствующих элементов матрицы по условиям улучшения вычислительной устойчивости при решении уравнений запишем эту систему уравнений иначе, изменив элементы клеточной матрицы следующим образом:

(1.24)

Такое построение клеточной матрицы коэффициентов при неизвестных составляющих напряжений в узлах, когда диагональные элементы больше всех остальных элементов в строке, целесообразно для повышения вычислительной устойчивости решения полученных уравнений.

В заключение еще раз отмечаем, что метод узловых напряжений используется в большинстве программ для расчетов установившихся режимов.