Второй закон Кирхгофа в матричной форме

 

Число независимых контуров для схемы любой конфигурации определяется из выражения:

,

где m - число ветвей, n - число независимых узлов, - число независимых контуров.

Согласно второму закону Кирхгофа, сумма падений напряжений в сопротивлениях ветвей, составляющих независимые контуры, должна быть равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в соответствующий контур. Для схемы замещения Рис 1.5, задавшись направлениями обхода контуров, показанными на риунке, имеем: .

Обозначим: - падение напряжения в сопротивлении ветви j;

-контурная ЭДС первого контура;

- контурная ЭДС i –го контура.

Тогда уравнения для независимых контуров согласно II закону Кирхгофа примут вид:

.

Вторая матрица соединений (инциденций) N, или матрица соединений ветвей в независимые контуры.

Она представляет собой таблицу, строки которой отвечают независимым контурам, а столбцы — ребрам (ветвям) направленного графа.

Элементы матрицы N в соответствии с принятыми направлениями обхода контуров могут принимать одно из 3-х значений:

+1 – если ветвь j входит в контур i, и направление ветви j совпадает с направлением обхода контура i;

n_ij = -1 – если ветвь j входит в контур i, и направление ветви j не совпадает с направлением обхода контура i;

0 – если ветвь j не входит в контур i.

Для направленного графа Рис.5.1 получаем вторую матрицу соединений в виде

(1.5)

ветви

Совокупность двух матриц инциденций – полное однозначное описание направленного графа схемы, т.е. можно составить направленный граф, имея обе матрицы. Это алгебраическая запись геометрического образа сети.

Для схемы замещения Рис 1.5 найдем произведение второй матрицы соединений N на столбцевую матрицу падений напряжения в сопротивлениях ветвей.

В компактной форме

_BZ = E _K (1.6)

- первая форма второго закона Кирхгофа в матричном виде.

Падения напряжения в сопротивлениях ветвей зависят от токов и сопротивлений этих ветвей. Аналитически эту зависимость можно записать в матричной форме с помощью матрицы сопротивлений ветвей. Эта матрица имеет квадратную форму, её строки и столбцы отвечают ветвям рассматриваемой схемы. Сопротивления ветвей располагаются по главной диагонали этой матрицы. Если же в схеме имеются ветви, связанные магнитным потоком взаимоиндукции, то матрица сопротивлений ветвей должна содержать сопротивления взаимоиндукции на пересечении строк и столбцов, отвечающих магнитосвязанным ветвям. В нашей схеме взаимоиндукция не учитывается, поэтому получим диагональную матрицу.

ветви

ветви

Произведение матрицы сопротивлений в ветвях на матрицу токов ветвей позволяет получить матрицу падений напряжения в сопротивлениях ветвей.

.

В компактной форме:

.

После подстановки этого выражения в (1.6) получаем вторую (основную) форму второго закона Кирхгофа в матричном виде.

. (1.7)

Если найти произведение второй матрицы соединений N на столбцевую матрицу ЭДС ветвей Е, то получим матрицу, в каждой строке которой будет алгебраическая сумма ЭДС, входящих в один независимый контур, аналогично тому, как произведение матриц и определило матрицу суммы падений напряжения в ветвях этих контуров. Следовательно:

.

После подстановки этого выражения в правую часть (1.7) получаем третью форму второго закона Кирхгофа в матричном виде:

(1.8)

Закон Ома в матричной форме

 

Из третьей формы записи второго закона Кирхгофа имеем

,

или

. (1.9)

 

Обозначим в (1.9) . (1.10)

В результате получаем четвертую форму второго закона Кирхгофа

. (1.11)

Произведение двух матриц в (1.9) равно нулю, но это не значит, что одна из матриц нулевая. Матрица не равна нулю, с другой стороны — это матрица напряжений ветвей, в общем случае содержащих ЭДС, т.е. матрица напряжений ветвей.

или . (1.12)

Если считать, что это не матричная форма записи, то получаем закон Ома для конкретной ветви, например, ветви между узлами 4 и 1 схемы замещения, приведенной на Рис 1.5. Под напряжением ветви будем понимать разность потенциалов узла начала ветви и узла её конца

.

Определить, насколько потенциал точки 4 выше потенциала точки 1 можно, рассматривая схему замещения ветви

.

Сопоставляя это выражение с (1.12), видим, что последнее представляет матричную запись закона Ома. Закон Ома – частный случай закона Кирхгофа для части контура, т.е. для ветви.

Таким образом, закон Ома в матричной форме имеет вид:

(1.13)