Вывести дифференциальное уравнение вынужденных колебаний механической системы с одной степенью свободы без учета сопротивления. Изложить его решение в случае отсутствия резонанса.

Q(t) - обобщенная сила характеризующая внешнее воздействие на колебательную систему.

, где: H - амплитуда, p - циклическая (круговая) частота, - начальная фаза обобщенной силы.

Определяем положение системы обобщенной координатой q, при равновесии .

Уравнение Лагранжа II рода: (1).

Так как равновесие устойчиво, а возмущения малы, для Т и П воспользуемся выражениями: , . Находим: (2).

Поставляя (2) в (1), получим: , где: = const, круговая или циклическая частота собственных колебаний системы, = const.

- НЛДУ II порядка с постоянными коэффициентами (1).

Решение q(t) это сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, то есть: .

Однородное уравнение для определения это уравнениее собственных колебаний, его решение: .

Частное решение неоднородного уравнения называют вынужденными колебаниями системы. Оно зависит от соотношения круговых частот «k» и «p» свободных колебаний и возмущающей силы. Здесь возможны два случая: отсутствие резонанса () и резонанс ().

 

k¹p

 

- частное решение (1)

Далее, учитывая общее решение уравнения и частное, запишем общее решение для (1): , или в амплитудной форме:

.

Постоянные и определяются из начальных условий: .

Вывести дифференциальное уравнение вынужденных колебаний механической системы с одной степенью свободы без учета сопротивления. Изложить его решение в случае резонанса. Графики амплитуды и сдвига фаз вынужденных колебаний.

Q(t) - обобщенная сила характеризующая внешнее воздействие на колебательную систему.

, где: H - амплитуда, p - циклическая (круговая) частота, - начальная фаза обобщенной силы.

Определяем положение системы обобщенной координатой q, при равновесии .

Уравнение Лагранжа II рода: (1).

Так как равновесие устойчиво, а возмущения малы, для Т и П воспользуемся выражениями: , . Находим: (2).

Поставляя (2) в (1), получим: , где: = const, круговая или циклическая частота собственных колебаний системы, = const.

- НЛДУ II порядка с постоянными коэффициентами (1).

Решение q(t) это сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, то есть: .

Однородное уравнение для определения это уравнение собственных колебаний, его решение: .

Частное решение неоднородного уравнения называют вынужденными колебаниями системы. Оно зависит от соотношения круговых частот «k» и «p» свободных колебаний и возмущающей силы. Здесь возможны два случая: отсутствие резонанса () и резонанс ().

k=p

- частное решение (1)

 

Далее, учитывая общее решение уравнения и частное, запишем общее решение для (1): , или в амплитудной форме:

.

Постоянные и определяются из начальных условий: .

 

 

.

 

 

59.Дать определение явления удара. Изложить основные понятия и допущения элементарной теории удара.

Явление, при котором за малый промежуток времени скорость точек тела изменяется на конечную величину, называется ударом.

Малый промежуток времени , в течение которого длиться удар, называется временем удара.

Силы, возникающие при ударе и действующие в течение времени удара, но достигающие таких больших значений, что их импульсы за это время становятся конечными величинами, называются ударными силами.

Измерять столь большие силы трудно, удобнее измерять ударную силу ее импульсом: , который называется ударным импульсом, или просто ударом.

 

Точка М массой m движется под действием силы , описывая траекторию . В точке М в момент t, когда точка имела скорость , произошел удар. Под действием ударной силы точка изменила модуль и направление скорости. Скорость точки после удара . Теорема об изменении кол-ва движения точки за время удара: (1).

 

1-ый интеграл - ударный импульс (конечная величина).

2-ой интеграл - импульс конечно силы , по теореме о среднем: (2).

Из (2) следует, что импульсом конечных сил можно пренебречь, его величина того же порядка, что и . Тогда (1) принимает вид: (3): изменение количества движения материальной точки за время удара равно ударному импульсу, приложенному к точке. (3) - основное уравнение динамики точки при ударе.

Т.к. время удара мало, расстояние l, пройденное точкой за это время также мало: , - конечная величина, - малая величина => .