Сформулируйте математическую постановку и изложите решение двух основных задач динамики точки.

Сформулируйте математическую постановку и изложите решение двух основных задач динамики точки.

Первая: Зная закон движения материальной точки массы m, найти равнодействующую всех сил , действующих на точку в каждый данный момент.

Движение точки задано координатным способом, т.е. (1). Определив проекции ускорения из уравнений (1), запишем ДУ движения точки в проекциях на декартовы оси координат: . Решение сводиться к двукратному дифференцированию закона движения точки. Определив три проекции силы , мы будем знать ее модуль и направление в каждый момент времени t.

Вторая: По заданной силе , действующей на материальную точку массы m, требуется определить закон движения точки. Сила и ее проекции могут зависеть от координат, скорости и времени. Запишем ДУ движения точки:

Решение сводиться к интегрированию системы трех ДУ второго порядка. Общее решение этой системы будет содержать 6 произвольных постоянных:

Константы найдём из начальных условий: при .

Вывести закон движения материальной точки, брошенной под углом к горизонту.

Материальная точка М массой m, брошена с поверхности под углом к горизонту с начальной скоростью . Начальные условия (t = 0): (1).

Единственной силой, является сила тяжести: , направленная вниз. Проекции этой силы на оси координат: . ДУ движения точки: .

Проинтегрируем ДУ движения точки: (2)

Интегрируем еще раз: (3).

Для определения постоянных воспользуемся начальными условиями.

Поставим начальные условия в (2) и в (3):

Подставим постоянные в (3): - закон движения точки.

Доказать необходимое и достаточное условия прямолинейного движения материальной точки и записать дифференциальное уравнение её прямолинейного движения.

ДУ свободной материальной точки в проекциях на декартовы оси координат:

(1)

Точка движется по прямой (ось Ох). Уравнения прямолинейной траектории точки: y = 0, z = 0 (2), следовательно, на основании (1): (3). Равенства (3) означают, что если точка движется прямолинейно, то равнодействующая сил имеет постоянное направление и совпадающее с прямой, вдоль которой движется точка, то есть в осью Ох. Необходимое условие (3) не является достаточным. При условиях (3) уравнения (1) примут вид: . Интегрируем: . Ещё раз: (4). Для опр. постоянных, восп. нач. усл. (t = 0): . Постоянные: . Подставим постоянные в (4): (5). Из (5) видно, что траектория движения точки будет прямой, когда: (6). Из равенств (3) и (6) следует, что свободная точка движется по прямой траектории, когда сила, приложенная к точке, имеет постоянное направление и начальная скорость точки параллельная этому направлению.

- ДУ прямолинейного движения свободной материальной точки.

Вывести дифференциальное уравнение вынужденных колебаний механической системы с одной степенью свободы без учета сопротивления. Изложить его решение в случае резонанса. Графики амплитуды и сдвига фаз вынужденных колебаний.

Q(t) - обобщенная сила характеризующая внешнее воздействие на колебательную систему.

, где: H - амплитуда, p - циклическая (круговая) частота, - начальная фаза обобщенной силы.

Определяем положение системы обобщенной координатой q, при равновесии .

Уравнение Лагранжа II рода: (1).

Так как равновесие устойчиво, а возмущения малы, для Т и П воспользуемся выражениями: , . Находим: (2).

Поставляя (2) в (1), получим: , где: = const, круговая или циклическая частота собственных колебаний системы, = const.

- НЛДУ II порядка с постоянными коэффициентами (1).

Решение q(t) это сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, то есть: .

Однородное уравнение для определения это уравнение собственных колебаний, его решение: .

Частное решение неоднородного уравнения называют вынужденными колебаниями системы. Оно зависит от соотношения круговых частот «k» и «p» свободных колебаний и возмущающей силы. Здесь возможны два случая: отсутствие резонанса () и резонанс ().

k=p

- частное решение (1)

 

Далее, учитывая общее решение уравнения и частное, запишем общее решение для (1): , или в амплитудной форме:

.

Постоянные и определяются из начальных условий: .

 

 

.

 

 

59.Дать определение явления удара. Изложить основные понятия и допущения элементарной теории удара.

Явление, при котором за малый промежуток времени скорость точек тела изменяется на конечную величину, называется ударом.

Малый промежуток времени , в течение которого длиться удар, называется временем удара.

Силы, возникающие при ударе и действующие в течение времени удара, но достигающие таких больших значений, что их импульсы за это время становятся конечными величинами, называются ударными силами.

Измерять столь большие силы трудно, удобнее измерять ударную силу ее импульсом: , который называется ударным импульсом, или просто ударом.

 

Точка М массой m движется под действием силы , описывая траекторию . В точке М в момент t, когда точка имела скорость , произошел удар. Под действием ударной силы точка изменила модуль и направление скорости. Скорость точки после удара . Теорема об изменении кол-ва движения точки за время удара: (1).

 

1-ый интеграл - ударный импульс (конечная величина).

2-ой интеграл - импульс конечно силы , по теореме о среднем: (2).

Из (2) следует, что импульсом конечных сил можно пренебречь, его величина того же порядка, что и . Тогда (1) принимает вид: (3): изменение количества движения материальной точки за время удара равно ударному импульсу, приложенному к точке. (3) - основное уравнение динамики точки при ударе.

Т.к. время удара мало, расстояние l, пройденное точкой за это время также мало: , - конечная величина, - малая величина => .

 

Сформулируйте математическую постановку и изложите решение двух основных задач динамики точки.

Первая: Зная закон движения материальной точки массы m, найти равнодействующую всех сил , действующих на точку в каждый данный момент.

Движение точки задано координатным способом, т.е. (1). Определив проекции ускорения из уравнений (1), запишем ДУ движения точки в проекциях на декартовы оси координат: . Решение сводиться к двукратному дифференцированию закона движения точки. Определив три проекции силы , мы будем знать ее модуль и направление в каждый момент времени t.

Вторая: По заданной силе , действующей на материальную точку массы m, требуется определить закон движения точки. Сила и ее проекции могут зависеть от координат, скорости и времени. Запишем ДУ движения точки:

Решение сводиться к интегрированию системы трех ДУ второго порядка. Общее решение этой системы будет содержать 6 произвольных постоянных:

Константы найдём из начальных условий: при .