Стационарный режим движения жидкости

К простым гидравлическим системам (рис.2.1.) относятся технологические схемы трубопроводов, для которых принимаются следующие допущения:

· во всех трубах протекает однофазный поток жидкости, температура которого одинакова на всех участках;

· все трубы располагаются на одном уровне, в системе нет рециклических (обратных) потоков, или рециклов, не учитываются местные сопротивления и перепады давлений в трубах, т. е. рассматриваются, так называемые короткие трубопроводы;

· системы включают только клапаны (вентили) с постоянными, не изменяющимися коэффициентами пропускной способности и закрытые емкости (аккумуляторы), давление газа в которых подчиняется идеальным законам.

Реальные гидравлические системы включают насосы, компрессоры и другие единицы оборудования; в них наряду с жидкостью могут перемещаться потоки газа, газо- и парожидкостной смеси. Тем не менее, изучение общих принципов построения математических моделей простых гидравлических систем позволяет получить представление о стратегии их математического моделирования.

Рис. 2.1. Простая гидравлическая система

Для системы, изображенной на рис. 2.1, будут справедливы два уравнения массового баланса (третье возможное балансовое уравнение – уравнение общего баланса – получается сложением двух других, т. е. будет линейно-зависимым):

; (1)

. (2)

Формула для определения скорости протекания жидкости через клапан в соответствии с уравнением Бернулли для суммарной удельной энергии элементарной струи идеальной жидкости при установившемся движении и с учетом допущений о простой гидравлической системе имеет вид:

, (3)

где k – коэффициент пропускной способности клапана, Р _вх, Р _вых – давления жидкости на входе и на выходе из клапана.

Более строгая запись формулы (3) имеет вид:

, (4)

где sgn(x) – функция знака и может принимать только три значения: –1, 0, +1 в соответствии со схемой:

sgn(x) = – 1, если х < 0;

sgn(x) = 0, если х = 0; (5)

sgn(x) = +1, если х > 0.

При этом знак скорости потока жидкости становится отрицательным, если направление ее движения будет противоположным направлению, указанному на рис. 2.1.

Так как гидравлическая система содержит 5 клапанов, то приведенных формул (3) в системе уравнений математического описания должно быть 5.

По аналогии, должно быть две группы уравнений, определяющих давление жидкости внизу закрытой емкости и давление газа над поверхностью жидкости. При этом принимаются допущения:

· об идеальном поведении газа в емкости;

· о цилиндрической форме закрытой емкости с площадью поперечного сечения S и геометрической высотой Н^G;

· об одинаковом давлении газа Р_N в емкостях, не заполненных жидкостью.

В соответствии со следствием из закона Паскаля давление жидкости Р _жидк внизу емкости определяется по формуле:

Р _жидк. = P _газ + r gH, (6)

где Р _газ – давление газа над поверхностью жидкости; r – плотность жидкости; Н – уровень жидкости в емкости.

Для определения давления газа Р _газ используется соотношение для идеального газа:

= =const, (7)

где – объем пустой емкости, т. е. не заполненной жидкостью, = S × H^G; – объем газа в закрытой емкости, = S (H^G – H).

В результате будет справедливо:

Р _газ S (H^G – H) = P_N S H^G

или

. (8)

Формулы для определения давления жидкости Р _жидк (6) и давления газа Р _газ (8) используются для описания поведения двух закрытых емкостей в гидравлической системе, изображенной на рис. 2.1.