Метод Рунге–Кутта второго порядка точности

Вычисления по этому методу осуществляются в два этапа. На первом этапе по схеме Эйлера находится промежуточное значение

.

(5.5)

На втором этапе находится значение по схеме

,

(5.6)

где , – параметры. Подставляя из (5.5) в (5.6), имеем

.

(5.7)

Нетрудно проверить (разложение по формуле Тейлора), что схема (5.7) имеет второй порядок аппроксимации при условии . Частные случаи разностной схемы (5.7):

.

(5.8)

Эта разностная схема носит название предиктор-корректор, или счет-пересчет. Первая схема из (5.8) – схема Эйлера с шагом (предиктор), вторая – схема со значением на полушаге (корректор).

Метод Рунге–Кутта четвертого порядка точности

Используется схема

.

(5.9)

где – поправки, вычисляемые по формулам

.

(5.10)

При определении по заданному необходимо четыре раза вычислять правую часть (5.9) в следующей последовательности: . Если предположить достаточную гладкость (непрерывную дифференцируемость вплоть до производных 4-го порядка) и разложить , в окрестности , нетрудно показать, что невязка , т.е. разностная схема (5.9) имеет 4-й порядок аппроксимации.

 

Пример выполнения лабораторной работы №5

 

Требуется решить задачу Коши при помощи численных методов

.

Вводим функцию :

.

Задаем шаг, количество шагов по времени и начальное условие

.

Выводим длину расчетного временного интервала

.

Задаем точное значение решения (считается аналитически)

.

 

Метод Эйлера для решения задачи Коши

 

Вводим функцию, реализующую алгоритм метода Эйлера:

 

 

Вызываем данную функцию

.

 

Строим графики точного решения и приближенного, рассчитанного методом Эйлера:

Выводим значение погрешности

.

 

Метод Рунге–Кутта второго порядка точности для решения задачи Коши

Вводим функцию, реализующую алгоритм метода Рунге–Кутта второго порядка точности:

Вызываем данную функцию

 

Строим графики точного решения и приближенного, рассчитанного методом Рунге–Кутта второго порядка точности:

Выводим значение погрешности

.

 

Метод Рунге–Кутта четвертого порядка точности для решения задачи Коши

Вводим функцию, реализующую алгоритм метода Рунге-Кутта четвертого порядка точности

Вызываем данную функцию

.

Строим графики точного решения и приближенного, рассчитанного методом Рунге–Кутта четвертого порядка точности:

Выводим значение погрешности

.

 

Варианты заданий к лабораторной работе №5

 

Решить задачу Коши, используя методы Эйлера, Рунге–Кутта второго и четвертого порядков точности.

 

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

 

Содержание отчета

Отчет должен содержать:

1) титульный лист;

2) постановку задачи (согласно варианту);

3) точное решение задачи;

4) краткое описание методов решения задачи Коши;

5) программную реализацию данных методов;

6) выводы о проделанной работе.

 

Контрольные вопросы и задания

1. Какие численные методы решения задачи Коши вы знаете?

2. Запишите разностную схему решения задачи Коши на основе метода Эйлера.

3. Запишите разностную схему решения задачи Коши на основе метода Рунге–Кутта 2 порядка.

4. Приведите пример решения задачи Коши при помощи метода Эйлера.

5. Приведите пример решения задачи Коши при помощи метода Рунге–Кутта 2 порядка.

6. Какова погрешность метода Эйлера?

7. Определите погрешность решения задачи Коши методом Эйлера на конкретном примере.

8. Определите погрешность решения задачи Коши методом Рунге–Кутта 2 порядка на конкретном примере.

9. От чего зависит погрешность численного решения задачи Коши?

10*. Приведите пример решения системы дифференциальных уравнений.

Методы приближения функций

 

Интерполяция в общем понимании – это нахождение промежуточных значений величины по некоторым известным ее значениям.

Интерполяция применяется во многих задачах, связанных с вычислениями, например:

1) восстановить функцию для всех значений на отрезке , если известны ее значения в некотором конечном числе точек этого отрезка;

2) заменить функцию близким выражением, удобным для проведения вычислений, если исходная функция представлена выражением, трудным для вычислений;

3) выполнить субтабулирование, т.е. сгущение таблицы значений;

4) решить задачу обратного интерполирования, т.е. по заданной таблице значений функции найти как функцию от .

В результате возникает следующая математическая задача: пусть на отрезке задана сетка , в ее узлах заданы значения функций , равные , , …, , …, . Требуется построить интерполянту, т.е. функцию , совпадающую с функцией в узлах сетки

, .

(6.1)

Интерполянта строится, как правило, в виде линейной комбинации некоторых линейно независимых на отрезке элементарных функций

;

(6.2)

где – неизвестные коэффициенты. Из условия (6.1) для определения этих коэффициентов получимсистему уравнений

(6.3)

Система функций такова, что при любом выборе сетки узлов отличен от нуля определитель системы (6.3)

Поэтому из системы (6.3) однозначно определяются коэффициенты .

В качестве функции в дальнейшем будем брать алгебраический многочлен степени , т.е. . В этом случае интерполяция называется алгебраической. Алгебраическая интерполяция является наиболее распространенной, так как многочлены легко вычисляются, их легко дифференцировать и интегрировать. В этом случае в качестве системы линейно независимых функций обычно выбирают следующую систему: .

Двух различных интерполяционных полиномов одной и той же степени существовать не может. Действительно, предположив обратное, приходим к выводу, что разность двух таких многочленов, являющаяся многочленом степени не выше , имеет корень, следовательно, равна тождественно нулю.