Вариационно-итерационные методы решения СЛАУ

Преимущество данных методов – они не используют никакой дополнительной информации об операторе , т.е. и , входящие в оценку и необходимые для выбора , здесь не требуются. Рассмотрим методы минимальных невязок и скорейшего спуска.

1. Метод минимальных невязок.

(4.13)

Для получим равенство, умножив обе части равенства (4.13) на матрицу :

.

Меняя знаки и группируя слагаемые соответствующим образом, получаем:

или

Параметр будем выбирать из условия минимума невязки по норме

.

Продифференцируем по , получим

,

.

(4.14)

2. Метод скорейшего спуска.

Получается из условия минимума энергетической нормы погрешности где , – точное решение исходной системы. Поскольку , и учитывая, что

, получим

Дифференцируя по , получим

, откуда

(4.15)

 

Пример выполнения лабораторной работы №4

 

Решите систему уравнений методом Якоби, Зейделя, наименьших невязок и методом скорейшего спуска

 

Задаем матрицу коэффициентов и столбец свободных членов

, .

Вводим начальное приближение решения

.

Устанавливаем значение погрешности расчета

.

Метод Якоби для решения СЛАУ

Вводим функцию, реализующую алгоритм метода Якоби:

Вызываем данную функцию

.

Выводим решение СЛАУ и количество итераций

,

.

Выводим значение вектора невязки

.

Метод Зейделя для решения СЛАУ

Вводим функцию, реализующую алгоритм метода Зейделя:

Вызываем данную функцию

.

Выводим решение СЛАУ и количество итераций

,

.

Выводим значение вектора невязки

.

 

Метод минимальных невязок для решения СЛАУ

Вводим функцию, реализующую алгоритм метода минимальных невязок:

Вызываем данную функцию

.

Выводим решение СЛАУ и количество итераций

,

.

Выводим значение вектора невязки

.

 

Метод скорейшего спуска для решения СЛАУ

 

Вводим функцию, реализующую алгоритм метода скорейшего спуска:

Вызываем данную функцию

.

Выводим решение СЛАУ и количество итераций

,

.

Выводим значение вектора невязки

.

 

Варианты заданий к лабораторной работе №4

Решите системы уравнений итерационными методами

1) 2)

3) 4)

5) 6)

 

7) 8)

 

9) 10)

 

Содержание отчета

Отчет должен содержать:

1) титульный лист;

2) постановку задачи (согласно варианту);

3) краткое описание итерационных методов расчета СЛАУ;

4) программную реализацию данных методов;

5) выводы о проделанной работе.

Контрольные вопросы и задания

1. Какие методы решения СЛАУ вы знаете?

2. Запишите каноническую форму одношаговых (двухслойных) итерационных схем.

3. От чего зависит скорость сходимости итерационных методов?

4. Какие преимущества у вариационно-итерационных методов?

5. Каким образом определяется окончание итераций?

6. Запишите метод Якоби в векторной форме.

7. Запишите метод Зейделя в векторной форме.

8. Запишите формулу расчета итерационного параметра согласно методу скорейшего спуска.

9*. Условие применимости метода минимальных невязок.

10*. Условие применимости метода скорейшего спуска.

Методы решения задачи Коши

 

Метод Эйлера.

Пусть требуется решить задачу Коши: найти функцию , непрерывную при , удовлетворяющую при дифференциальному уравнению и начальному условию при :

.

(5.1)

Решение задачи (5.1) существует и единственно, если функции и непрерывны в области , содержащей точку .

Ставится задача нахождения приближенных значений функции – в точках соответственно отрезка . Совокупность точек называется сеткой; точки – узлами сетки, – шагом сетки.

Одним из простейших методов численного решения задачи Коши (5.1) является метод Эйлера, основанный на использовании разностной схемы Эйлера:

.

Разностная схема (5.2) называется явной, так как значения находятся последовательно, начиная с по явной формуле

, , .

(5.2)

В результате получаем приближенные значения функции в узлах сетки , т.е. сеточную функцию , . Оценим теперь величину аппроксимации разностной схемой Эйлера (5.2) исходной задачи (5.1). Сеточная функция

(5.3)

называется погрешностью разностной схемы.

Подставляя из (5.3) в уравнение (5.2), имеем

,

(5.4)

где

, .

Невязка , которую имеет разностная схема (5.2) на решении задачи (5.1), называется погрешностью аппроксимации разностной схемы (5.2).

Оценим величину . Для этого, разлагая по формуле Тейлора функцию в окрестности точки , имеем

.

Учитывая, что , имеем или .

Таким образом, разностная схема (5.2) имеет первый порядок аппроксимации.

Докажем сходимость разностной схемы Эйлера (5.2), т.е. что . Действительно, определяя величину из (5.4) и оценивая ее, имеем

В этом случае разностная схема (5.2) называется сходящейся и имеющей первый порядок точности. Таким образом, метод Эйлера достаточно прост, но обеспечивает низкую точность.

Метод Рунге–Кутта

Повышение порядка точности осуществляется путем усложнения разностной схемы. На практике широко распространенными являются разностные схемы Рунге–Кутта второго и четвертого порядка точности.