Внутривидовая конкуренция в популяции с непрерывным размножением.

В природе встречаются и популяции, где рождение и гибель организмов происходит непрерывно; для таких популяций модели, выра­женные уравнениями из предыдущего пункта, непригодны.

Математическая модель в данном случае строится на основе дифференциальных уравнений. Наиболее известна так называемая логистическая модель:

 

Исходные параметры модели:

· R – скорость роста численности популяции в отсутствие конкуренции;

· К – предельное значение численности популяции, при котором скорость роста становится равной нулю;

· N₀ – начальная численность популяции.

 

Аналитическое решение этого уравнения:

 

Моделирование задачи – см. лаба №4 (2 часть)

Билет 13

Задание 1.

Составить программу, которая печатает true, если точка с координатами (x,y) принадлежит заштрихованной области, и false в противном случае:

Вопросы:

1. Сформулируйте методические цели решения этой задачи.

2. Постройте систему вопросов к учащимся по поиску решения задачи.

3. Используя учебные пособия, подберите задачи, подобные данной задаче.

4. Начертите блок-схему алгоритма решения этой задачи.

Задание 2.

Используя среду программирования (например, Turbo Pascal), вычислить методом Монте-Карло число π = 3,141592653, проведя 100000, 1000000 и 10000000 испытаний (выборов случайной точки), качественно проанализировать результаты.

Вычисление числа π методом Монте-Карло

Используем построенную модель определения площади круга для приближенного вычисления числа π методом Монте-Карло.

Компьютерная модель для приближенного вычисления числа π, при r=1

Программа, представляющая математическую модель вычисления числа π методом Монте-Карло записанная на языке программирования Паскаль:

Program MonteKarlo;

var x,y,s1: real;

n1,n,i:longint;

begin

writeln ('Введите количество точек n=');

readln(n);

randomize;

n1:=0;

for i:=1 to n do

begin

x:=2*random;

y:=2*random;

if sqr(x-1)+sqr(y-1)<=1 then

n1:=n1+1;

end;

S1:=(4*n1)/n;

writeln ('Значение s1=');

readln;

end.

Результаты вычисления числа π :

	N=100	N=1000	N=10000	Точное значение
Число Пи	3,08	3,06	3,1256	3,141593

Вывод: Если сравнить полученные результаты, при N=100, N=1000, N=10000, то можно заметить, что π приблизительно равно истинному значению. Результаты тем точнее, чем большее количество точек задается.

Вопросы:

1. Какова суть метода Монте-Карло?

2. Какие факторы влияют на результат данной задачи.

 

Ответы на вопросы:

1. Алгоритм метода статистических испытаний (метод Монте-Карло):

S_кр/ S_кв = N₁/ N → S_кр = 4N₁/ N = π.

1) Формирование последовательности равномерно распределенных случайных величин.

2) Преобразование полученной последовательности случайных величин с заданными вероятностными характеристиками.

3) Вычисление реакции объекта на случайные воздействия.

4) Обработка статистических данных.

 

2. Факторы влияющие на результат данной задачи:

- число N случайных точек,

- число испытаний

 

Приложение:

Рассмотрим круг радиуса r = 1 с центром в точке (1;1). Круг вписан в квадрат площадью 4 ед. Выбираем внутри квадрата n – случайных точек, т.е. задаем координаты точек х, у, 0 ≤ х ≤2, 0 ≤ у ≤ 2.

N₁ – число точек, попавших внутрь круга.

N – общее число точек, которое мы задаем.

Выходные данные: S_кр = π*r² = π (r = 1).

Условия попадания точки в круг: (х – 1)² + (у – 1)² ≤ 1.

 

Билет 14

Задание 1.

Разработайте учебный телекоммуникационный проект на выбранную Вами тему.

Вопросы:

1. Обоснуйте необходимость использования компьютерных телекоммуникаций в данном проекте.

2. Какие дидактические свойства и функции компьютерных телекоммуникаций наиболее адекватны целям вашего проекта.

3. Определите, какие знания и умения и по каким предметам потребуются для выполнения проекта.

 

Этапы разработки:

1. Выбор темы, постановка проблемы,
2. Разработка сценария.
3. Подготовка материала для работы
4. Создание мультимедийного продукта
5. Работа с мультимедийным продуктом

Требования:

1. Качество и достоверность информации.
2. Качество графики.
3. Наличие качества звука и видео.
4. Индивидуальный подход по уровню сложности при работе с продуктом (Возможность перейти к более сложному уровню)
5. Возможность напоминания о действиях
6. Требования к проектированию дисплейных форматов.
7. Соответствие с содержанием
8. Требование по времени

 

Задание 2.

Используя среду программирования (например, Turbo Pascal), вычислить методом Монте-Карло площадь круга радиуса 1 и центром в точке с координатами (1; 1), сравнить результат с тем, который получился бы аналитически.

Вопросы:

1. Какими свойствами должен обладать генератор случайных чисел необходимыми для решения данной задачи.

2. Какова суть метода Монте-Карло?

Ответы на вопросы:

Качественная модель:

1. Поместим геометрическую фигуру полностью внутрь квадрата.

2. Будем случайным образом «бросать» точки в этот квадрат, т.е. с помощью генератора случайных чисел задавать координаты точек внутри квадрата.

3. Будем считать, что отношение числа точек, попавших внутрь фигуры к общему числу точек в квадрате приблизительно равно отношению площади фигуры к площади квадрата, причем это отношение тем точнее, чем больше количество точек.

 

1. Формальная модель «Определение площади круга методом Монте-Карло»

Построим формальную модель для вычисления площади круга радиусом r. Круг вписан в квадрат со стороной 2r. Площадь квадрата можно оценить по формуле: S = 4r².

Пусть N– количество точек, попавших внутрь квадрата, а M – количество точек, попавших внутрь круга.

Тогда площадь круга можно вычислить по формуле: S = 4r² M/N.

1. Формальные условия, которым должны удовлетворять координаты для попадания в квадрат и в круг: координаты xи yдолжны принадлежать промежутку от 0 до 2r.

0 ≤ х ≤ 2r

0 ≤ y ≤ 2r

Принадлежность точек вписанной окружности определяется удовлетворением координат x и y следующему неравенству, полученному из уравнения окружности : (x – r)² + (y – r)² ≤ r²

 

2. Построим компьютерную модель на языке программирования, которая позволяет вычислить площадь круга произвольного радиуса методом Монте-Карло.

 

Программа, представляющая математическую модель вычисления площади круга методом Монте-Карло записанная на языке программирования Паскаль:

Program MonteKarlo;

var x,y,s1: real;

n1,n,i: longint;

begin

writeln ('Введите количество точек n=');

readln(n);

randomize;

n1:=0;

for i:=1 to n do

begin

x:=8*random;

y:=8*random;

if sqr(x-4)+sqr(y-4)<=16 then

n1:=n1+1;

end;

S1:=(4*16*n1)/n;

writeln ('Площадь круга s1=');

readln;

end.

 

1. Увеличим количество случайных точек (n=1000, n=10000). Сравним полученные результаты со значением, полученным по формуле.

Аналитический расчет площади круга:

При r=4, S= π r² =3,14*4²=50,24

Радиус круга, r=4	N=100	N=1000	N=10000	Точное значение
Площадь круга	51,20	51,20	50,24	50,24

 

Вывод: если сравнить полученные результаты при N=100, N=1000, N=10000, то можно заметить, что при увеличении количества точек площадь круга, полученная методом Монте-Карло, приближается к её истинному значению.

 

Приложение:

Рассмотрим круг радиуса r = 1 с центром в точке (1;1). Круг вписан в квадрат площадью 4 ед. Выбираем внутри квадрата n – случайных точек, т.е. задаем координаты точек х, у, 0 ≤ х ≤2, 0 ≤ у ≤ 2.

N₁ – число точек, попавших внутрь круга.

N – общее число точек, которое мы задаем.

Выходные данные: S_кр = π*r² = π (r = 1).

Условия попадания точки в круг: (х – 1)² + (у – 1)² ≤ 1.

 

2. Алгоритм метода статистических испытаний (метод Монте-Карло):

S_кр/ S_кв = N₁/ N → S_кр = 4N₁/ N = π.

1) Формирование последовательности равномерно распределенных случайных величин.

2) Преобразование полученной последовательности случайных величин с заданными вероятностными характеристиками.

3) Вычисление реакции объекта на случайные воздействия.

4) Обработка статистических данных.

 

Билет 15

Задание 1.

Создайте мультимедийную презентацию, ориентированную на использование в воспитательном процессе учебного заведения.

Вопросы:

1. Каковы этапы разработки данного мультимедийного проекта.

2. Перечислите требования, предъявляемые к мультимедийным продуктам.

3. Как вы построите воспитательный процесс с использованием данной презентации.

 

Задание 2.

ü С помощью редактора формул наберите следующие выражения:

ü Создайте рисунок по образцу, представленному на рисунке.

Создайте надписи и заголовок.

Все элементы рисунка должны быть сгруппированы.

При создании рисунка используйте копирование, свободное вращение (для поворота нижней половины гиперболоида после копирования) и рисование дуг.

Вопросы:

1. Расскажите о возможностях текстового процессора по автоматизации технологии работы.

2. Что такое колонтитулы и в каких случаях они используются?

3. В чем сходства и различия текстового процессора и издательской системы?