Нахождение точечных оценок закона распределения результатов измерения

Среднее арифметическое значений из выборки вычисляется по формуле:

(1)

где n – число значений в выборке;

х _i – значение из выборки, мм,

- среднее арифметическое значений из выборки, мм.

 

(мм).

Точечная оценка среднего квадратического отклонения рассчитывается по формуле:

(2)

Расчёты числителя дроби, приведённой в формуле (2), сведены в таблицу 5, где к – количество значения по всему объему выборки.

 

Таблица 5 – Расчет числителя дроби

хi	25,392	25,394	25,396	25,397	25,399	25,400
к
l хi - l	0,008	0,006	0,004	0,003	0,001
(хi - )^2×к	0,000192	0,000072	0,000016	0,000009	0,000002

Окончание таблицы 5

хi	25,401	25,402	25,403	25,404	25,407
к
l хi - l	0,001	0,002	0,003	0,004	0,007
(хi - )^2×к	0,000004	0,000008	0,000036	0,000032	0,000196

 

Точечная оценка среднего арифметического значений из выборки вычисляется по формуле:

(3)

Производим расчёты по формулам (2) и (3):

;

 

Поиск грубых погрешностей

Производим поиск грубых погрешностей, используя неравенство:

 

l х_i - l > 3 × S_x, (4)

где х_i – x_max и x_min.

 

3 × 0,0044 = 0,013.

l25,407 – 25,400l = 0,007 (мм).

0,007 < 0,013.

l25,392 – 25,400l = 0,008 (мм).

0,008 < 0,013.

Вывод: так как наибольшее и наименьшее значения выборки меньше 3 × S_x, следовательно, они не являются грубыми погрешностями и не отбрасываются.

 

Определение закона распределения результатов измерений и их случайных погрешностей

Строим вариационный ряд, располагая все результаты в порядке возрастания от y₁(min x_i) до y_n(max x_i).

 

25,392 мм 25,400 мм 25,403 мм

25,392 мм 25,400 мм 25,403 мм

25,392 мм 25,400 мм 25,403 мм

25,394 мм 25,400 мм 25,403 мм

25,394 мм 25,401 мм 25,404 мм

25,396 мм 25,401 мм 25,404 мм

25,397 мм 25,401 мм 25,407 мм

25,399 мм 25,401 мм 25,407 мм

25,399 мм 25,402 мм 25,407 мм

25,400 мм 25,402 мм 25,407 мм

 

Данный ряд разбиваем на оптимальное число одинаковых интервалов группирования.

Длину интервалов группирования рассчитываем по формуле:

(5)

где m – число интервалов группирования.

За m принимается целое нечётное число в пределах от m_min до m_max, которые рассчитываются по формулам (6) и (7), соответственно:

(6)

 

(7)

таким образом, принимаем m = 3.

Определяем длину интервалов по формуле (5):

Определяем интервалы группирования данных в виде:

. (8)

Подсчитываем число попаданий результатов измерений,n_kn в каждый интервал:

n_k1=7,

n_k2=13,

n_k3=10.

Рассчитываем вероятность попадания, Р_к, результатов измерения в каждый из интервалов группирования по формуле:

(9)

где n – сумма попаданий во все интервалы.

Проведённые расчёты позволяют построить гистограмму и полигон, для этого по оси результатов х, откладываем интервалы в порядке возрастания номеров и на каждом интервале строим прямоугольник высотой Р_к.

Полигон представляет собой ломаную кривую, соединяющую середину верхних оснований каждого столбца диаграммы. За пределами гистограммы остаются пустые интервалы, в которых точки, соответствующие их серединам лежат на оси. Эти точки при построении полигона соединяем отрезками прямых линий. Полигон более точно отражает форму кривой распределения (рисунок 10).

Рисунок 10

 

Вывод: результаты измерений и их погрешности распределены по нормальному закону.