ТОП 10:

Підалгебри Картана і розклад по кореневим підпросторам



Нехай 𝐿 – алгебра Лі над 𝑃. Підалгебра 𝐻 в 𝐿 називається підалгеброю Картана, якщо вона нільпотентна і співпадає зі своїм нормалізатором в 𝐿. (Нормалізатор алгебри 𝐻 – це {𝑋 ∈ 𝐿: [𝑋, 𝐻] ⊂ 𝐻}).

Нехай тепер 𝑃= і 𝐿 – алгебра Лі над 𝑃. Припустимо, що в 𝐿 існує під- алгебра Картана. Існують різні функції 𝛼0, 𝛼1, … , 𝛼𝑘 із 𝐻 в 𝑃 і підпростору 𝐿 (𝛼0), 𝐿 (𝛼1), … , 𝐿 (𝛼𝑘) в 𝐿 такі, що 𝐿 = 𝐿 (𝛼0) ⨁ … ⨁ 𝐿 (𝛼𝑘), 𝐿 (𝛼) = {𝑌 ∈ 𝐿: для довільного 𝑋 ∈ 𝐻 існує ціле число 𝑒 ≥ 1, таке що (𝑎𝑑 𝑋 − 𝛼𝑖 (𝑋))𝑒𝑌= 0}.

Так як підалгебра 𝐻 нільпотентна, то для кожного 𝑋 ∈ 𝐻 узагальнений власний підпростір, що відповідає власному значенню 0, містить 𝐻. Звідси, ми можемо вважати , що 𝛼0 ≡ 0 і 𝐿 (𝛼0) = 𝐿 (0) = {𝑌 ∈ 𝐿: для довільного 𝑋 ∈ 𝐻 існує ціле число 𝑒 ≥ 1, таке що (𝑎𝑑 𝑋)𝑒𝑌 = 0}.

Якщо 𝐻 ≠ 𝐿 (0), то існує елемент 𝑠0 ∈ 𝐿 (0), що 𝑠0 ∉ 𝐻 і [𝐻, 𝑠0] ⊂ 𝐻. Але в такому випадку 𝑠0 належить нормалізатору підалгебри 𝐻, що співпадає за припущенням з 𝐻, - суперечність. Значить , 𝐻 = 𝐿 (0).

Далі, [𝐿 (𝛼𝑖), 𝐿 (𝛼𝑗)] міститься в узагальненому власному під-просторі ендоморфізма 𝑎𝑑 𝑋, що відповідає власному значенню 𝛼𝑖(𝑋)+𝛼𝑗(𝑌), для довільного 𝑋 ∈ 𝐻. Так як 𝐿 (𝛼𝑖 + 𝛼𝑗) представляє собою перетин всіх таких підпросторів, то [𝐿 (𝛼𝑖), 𝐿 (𝛼𝑗)] ⊂ 𝐿 (𝛼𝑖 + 𝛼𝑗).

Функції 𝛼1, … , 𝛼𝑘 називаються коренями, а розклад

𝐿 = 𝐻 ⨁ 𝐿 (𝛼1) ⨁ … ⨁ 𝐿 (𝛼𝑘)

- розклад по кореневим підпросторам алгебри 𝐿 відносно 𝐻.

 

Напівпрості алгебри Лі

Нехай 𝐿 – алгебра Лі над 𝑃 = , і нехай

(1) 𝐿 = 𝐿 (0) ⨁ 𝐿 (𝛼1) ⨁ … ⨁ 𝐿 (𝛼𝑘)

- її розклад на кореневі підпростори відносно підалгебри Картана 𝐿(0)=𝐿0. Нехай 𝑉 – векторний простір над 𝑃 і (𝑉, 𝑓) – представлення алгебри 𝐿. Так як відображення 𝐿0 ∋ 𝑋 ↦ 𝑓 (𝑋) ∈ 𝑔𝑙 (𝑉) є представленням нільпотентної алгебри Лі, то ми отримуємо розклад підпростору 𝑉 в пряму суму

(2) 𝑉 = 𝑉 (𝜆1) ⨁ 𝑉(𝜆2) ⨁ … ,

де 𝜆𝑖 (𝑖 = 1, 2, …) - функції із 𝐿0 в 𝑃 і для довільного 𝑋 ∈ 𝐿0 підпростір 𝑉 (𝜆𝑖) міститься в узагальненому власному підпросторі ендоморфізма 𝑓(𝑋), що відповідає власному значенню 𝜆𝑖 (𝑋). Функції 𝛼1, 𝛼2, … , 𝜆1, … , лінійні; функції 𝜆𝑖 називаються вагами алгебри 𝐿 відносно підалгебри Картана 𝐿0 (і представлення (𝑉, 𝑓)). Розуміється, функції 𝛼1, … , 𝛼𝑘 можна вважати попарно різними, тому існує такий елемент 𝑋 ∈ 𝐿0, що всі числа 𝛼𝑖 (𝑋) відмінні від нуля і від один одного. При такому виборі 𝑋 підпростори 𝐿(𝛼𝑖) співпадають з узагальненими власними підпросторами ендоморфізма 𝑎𝑑 𝑋, що відповідають власним значенням 𝛼𝑖 (𝑋). Звідси, [𝐿 (𝛼𝑖), 𝐿 (𝛼𝑗)] міститься в власному підпросторі, що відповідає власному значенню 𝛼𝑖 (𝑋) + 𝛼𝑗 (𝑋)тобто в 𝐿 (𝛼𝑖 + 𝛼𝑗). Таким чином

(3) [𝐿 (𝛼), 𝐿 (𝛽)] ⊂ 𝐿 (𝛼 + 𝛽),

де 𝛼, 𝛽 - корені (або 0). Аналогічні міркування дають

(4) 𝐿 (𝛼) 𝑉 (𝜆) ⊂ 𝑉 (𝛼 + 𝜆).

В (3) і (4) як і раніше мається на увазі, що 𝐿 (𝛼 + 𝛽) = 0, якщо 𝛼 + 𝛽 (≠ 0) не є коренем, і 𝑉 (𝛼 + 𝜆 ) = 0, якщо 𝛼 + 𝜆 не є вагою.

Теорема 2. 3. 1. Нехай 𝐿 – напівпроста алгебра Лі над 𝑃.

1) 𝐿 розкладається в пряму суму простих ідеалів, причому цей розклад однозначний з точністю до порядку доданків.

2) Ідеали і факторалгебри алгебри 𝐿 напівпрості.

3) 𝐿 = 𝐿(1)

4) Алгебра 𝐿 – повна.

5) Для довільного розширення поля 𝑃 алгебра напівпроста.

Нехай 𝐿 – алгебра Лі. Довільна підалгебра 𝐴 в 𝐿, інваріантна відносно всіх диференціювань алгебри 𝐿: 𝑑𝑒𝑟(𝐿) 𝐴 ⊂ 𝐴, називається характеристичною. Характеристичні підалгебри є ідеалами. Для довільних 𝑋, 𝑌 ∈ 𝐿 і 𝛿 ∈ 𝑑𝑒𝑟 (𝐿) 𝛿 [𝑋, 𝑌] = [𝛿𝑋, 𝑌] + [𝑋, 𝛿𝑌], і тому 𝐿(1) – характеристична підалгебра.

Твердження 2. 3. 2. Радикал є характеристичною підалгеброю.

 







Последнее изменение этой страницы: 2017-02-10; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 54.90.86.231 (0.005 с.)