Підалгебри Картана і розклад по кореневим підпросторам

Нехай 𝐿 – алгебра Лі над 𝑃. Підалгебра 𝐻 в 𝐿 називається підалгеброю Картана, якщо вона нільпотентна і співпадає зі своїм нормалізатором в 𝐿. (Нормалізатор алгебри 𝐻 – це {𝑋 ∈ 𝐿: [𝑋, 𝐻] ⊂ 𝐻}).

Нехай тепер 𝑃= і 𝐿 – алгебра Лі над 𝑃. Припустимо, що в 𝐿 існує під- алгебра Картана. Існують різні функції 𝛼₀, 𝛼₁, …, 𝛼_𝑘 із 𝐻 в 𝑃 і підпростору 𝐿 (𝛼₀), 𝐿 (𝛼₁), …, 𝐿 (𝛼_𝑘) в 𝐿 такі, що 𝐿 = 𝐿 (𝛼₀) ⨁ … ⨁ 𝐿 (𝛼_𝑘), 𝐿 (𝛼) = {𝑌 ∈ 𝐿: для довільного 𝑋 ∈ 𝐻 існує ціле число 𝑒 ≥ 1, таке що (𝑎𝑑 𝑋 − 𝛼_𝑖 (𝑋))^𝑒𝑌= 0}.

Так як підалгебра 𝐻 нільпотентна, то для кожного 𝑋 ∈ 𝐻 узагальнений власний підпростір, що відповідає власному значенню 0, містить 𝐻. Звідси, ми можемо вважати, що 𝛼₀ ≡ 0 і 𝐿 (𝛼₀) = 𝐿 (0) = {𝑌 ∈ 𝐿: для довільного 𝑋 ∈ 𝐻 існує ціле число 𝑒 ≥ 1, таке що (𝑎𝑑 𝑋)^𝑒𝑌 = 0}.

Якщо 𝐻 ≠ 𝐿 (0), то існує елемент 𝑠₀ ∈ 𝐿 (0), що 𝑠₀ ∉ 𝐻 і [𝐻, 𝑠₀] ⊂ 𝐻. Але в такому випадку 𝑠₀ належить нормалізатору підалгебри 𝐻, що співпадає за припущенням з 𝐻, - суперечність. Значить, 𝐻 = 𝐿 (0).

Далі, [𝐿 (𝛼_𝑖), 𝐿 (𝛼_𝑗)] міститься в узагальненому власному під-просторі ендоморфізма 𝑎𝑑 𝑋, що відповідає власному значенню 𝛼_𝑖(𝑋)+𝛼_𝑗(𝑌), для довільного 𝑋 ∈ 𝐻. Так як 𝐿 (𝛼_𝑖 + 𝛼_𝑗) представляє собою перетин всіх таких підпросторів, то [𝐿 (𝛼_𝑖), 𝐿 (𝛼_𝑗)] ⊂ 𝐿 (𝛼_𝑖 + 𝛼_𝑗).

Функції 𝛼₁, …, 𝛼_𝑘 називаються коренями, а розклад

𝐿 = 𝐻 ⨁ 𝐿 (𝛼₁) ⨁ … ⨁ 𝐿 (𝛼_𝑘)

- розклад по кореневим підпросторам алгебри 𝐿 відносно 𝐻.

 

Напівпрості алгебри Лі

Нехай 𝐿 – алгебра Лі над 𝑃 = , і нехай

(1) 𝐿 = 𝐿 (0) ⨁ 𝐿 (𝛼₁) ⨁ … ⨁ 𝐿 (𝛼_𝑘)

- її розклад на кореневі підпростори відносно підалгебри Картана 𝐿(0)=𝐿₀. Нехай 𝑉 – векторний простір над 𝑃 і (𝑉, 𝑓) – представлення алгебри 𝐿. Так як відображення 𝐿₀ ∋ 𝑋 ↦ 𝑓 (𝑋) ∈ 𝑔𝑙 (𝑉) є представленням нільпотентної алгебри Лі, то ми отримуємо розклад підпростору 𝑉 в пряму суму

(2) 𝑉 = 𝑉 (𝜆₁) ⨁ 𝑉(𝜆₂) ⨁ …,

де 𝜆_𝑖 (𝑖 = 1, 2, …) - функції із 𝐿₀ в 𝑃 і для довільного 𝑋 ∈ 𝐿₀ підпростір 𝑉 (𝜆_𝑖) міститься в узагальненому власному підпросторі ендоморфізма 𝑓(𝑋), що відповідає власному значенню 𝜆_𝑖 (𝑋). Функції 𝛼₁, 𝛼₂, …, 𝜆₁, …, лінійні; функції 𝜆_𝑖 називаються вагами алгебри 𝐿 відносно підалгебри Картана 𝐿₀ (і представлення (𝑉, 𝑓)). Розуміється, функції 𝛼₁, …, 𝛼_𝑘 можна вважати попарно різними, тому існує такий елемент 𝑋 ∈ 𝐿₀, що всі числа 𝛼_𝑖 (𝑋) відмінні від нуля і від один одного. При такому виборі 𝑋 підпростори 𝐿(𝛼_𝑖) співпадають з узагальненими власними підпросторами ендоморфізма 𝑎𝑑 𝑋, що відповідають власним значенням 𝛼_𝑖 (𝑋). Звідси, [𝐿 (𝛼_𝑖), 𝐿 (𝛼_𝑗)] міститься в власному підпросторі, що відповідає власному значенню 𝛼_𝑖 (𝑋) + 𝛼_𝑗 (𝑋)тобто в 𝐿 (𝛼_𝑖 + 𝛼_𝑗). Таким чином

(3) [𝐿 (𝛼), 𝐿 (𝛽)] ⊂ 𝐿 (𝛼 + 𝛽),

де 𝛼, 𝛽 - корені (або 0). Аналогічні міркування дають

(4) 𝐿 (𝛼) 𝑉 (𝜆) ⊂ 𝑉 (𝛼 + 𝜆).

В (3) і (4) як і раніше мається на увазі, що 𝐿 (𝛼 + 𝛽) = 0, якщо 𝛼 + 𝛽 (≠ 0) не є коренем, і 𝑉 (𝛼 + 𝜆) = 0, якщо 𝛼 + 𝜆 не є вагою.

Теорема 2. 3. 1. Нехай 𝐿 – напівпроста алгебра Лі над 𝑃.

1) 𝐿 розкладається в пряму суму простих ідеалів, причому цей розклад однозначний з точністю до порядку доданків.

2) Ідеали і факторалгебри алгебри 𝐿 напівпрості.

3) 𝐿 = 𝐿⁽¹⁾

4) Алгебра 𝐿 – повна.

5) Для довільного розширення поля 𝑃 алгебра напівпроста.

Нехай 𝐿 – алгебра Лі. Довільна підалгебра 𝐴 в 𝐿, інваріантна відносно всіх диференціювань алгебри 𝐿: 𝑑𝑒𝑟(𝐿) 𝐴 ⊂ 𝐴, називається характеристичною. Характеристичні підалгебри є ідеалами. Для довільних 𝑋, 𝑌 ∈ 𝐿 і 𝛿 ∈ 𝑑𝑒𝑟 (𝐿) 𝛿 [𝑋, 𝑌] = [𝛿𝑋, 𝑌] + [𝑋, 𝛿𝑌], і тому 𝐿⁽¹⁾ – характеристична підалгебра.

Твердження 2. 3. 2. Радикал є характеристичною підалгеброю.