Ідеали, розв’язність, нільпотентність.

Нехай 𝕭₁ і 𝕭₂ – підпростори алгебри Лі 𝕷. Позначимо через 𝕭₁ ⋂ 𝕭₂ перетин цих підпросторів, а через 𝕭₁ + 𝕭₂ – підпростір, натягнутий над 𝕭₁ і 𝕭₂. Підпростір 𝕭₁ + 𝕭₂ є сукупністю елементів виду 𝑏₁ + 𝑏₂, де 𝑏_і ⋲ 𝕭_і. Визначимо тепер [𝕭₁ 𝕭₂] як підпростір, натягнутий на всі добутки [𝑏₁ 𝑏₂], 𝑏_і ⋲ 𝕭_і. Звідси зразу випливає, що елементами простору [𝕭₁ 𝕭₂] є суми 𝑏_іj ⋲ 𝕭_і. Сформулюємо основні властивості закону композиції [𝕭₁ 𝕭₂]:

1. [𝕭₁ 𝕭₂] = −[𝕭₂ 𝕭₁].

2. [𝕭₁ + 𝕭₂, 𝕭₃] = [𝕭₁ 𝕭₃] + [𝕭₂ 𝕭₃].

3. [[𝕭₁ 𝕭₂] 𝕭₃] ⊆ [[𝕭₁ 𝕭₃] 𝕭₂] + [[𝕭₂ 𝕭₃]𝕭₁]. (3)

4. [𝕭₁ ⋂ 𝕭₂,𝕭₃] ⊆ [𝕭₁ 𝕭₃] ⋂ [𝕭₂ 𝕭₃].

Підпростір 𝕭 є ідеалом тоді і тільки тоді, коли [𝕭𝕷] ⊆ 𝕭. Перетин та сума ідеалів утворюють ідеал, а властивість 3, якщо положити 𝕭₃ = 𝕷, показує, що це справедливо і для (лієвого) добутку ідеалів. Зокрема, очевидно, що члени похідного ряду

𝕷 ⊇ 𝕷’ = [𝕷𝕷] ⊇

⊇ 𝕷’’ = [𝕷𝕷] ⊇…

⊇ 𝕷^k = [𝕷^(k-1)𝕷^(k-1)] ⊇…

є ідеалами. Це ж саме вірно і для членів нижнього центрального ряду

𝕷 ⊇ 𝕷² = 𝕷’ ⊇

⊇ 𝕷³ = [𝕷²𝕷] ⊇…

⊇ 𝕷^k = [𝕷^k-1𝕷] ⊇…

Алгебра Лі називається розв’язною, якщо 𝕷^(h) = 0 для деякого додатного числа 𝗁. Кожна абелева алгебра розв’язна. Для опису алгебр Лі розмірностей, не більших 3, випливає, що всі ці алгебри розв’язні, за виключенням тих, для яких dim𝕷 = 3 = dim𝕷’.

Лема 1. 3. 1. Довільна підалгебра і довільний гомоморфний образ розв’язної алгебри Лі розв’язні. Якщо 𝕷 містить розв’язний ідеал 𝕭, такий що факторалгебра 𝕷/𝕭 розв’язна, то і сама алгебра 𝕷 розв’язна.

Твердження 1. 3. 2. Сума довільних двох розв’язних ідеалів є роз-в’язним ідеалом.

Припустимо тепер, що алгебра 𝕷 має скінченну розмірність, і нехай 𝕾 – розв'язний ідеал максимальної розмірності в 𝕷. Тоді із останнього твердження випливає, що якщо 𝕭 – довільний розв'язний ідеал в 𝕷, то 𝕾 + 𝕭 – також розв’язний ідеал. Але 𝕾 + 𝕭 = 𝕾, оскільки розмірність ідеалу 𝕾 максимальна за припущенням. Звідси, 𝕾 ⊇ 𝕭. Цим доведено існування розв'язного ідеалу 𝕾, що містить довільний інший розв'язний ідеал. Ми назвемо 𝕾 радикалом алгебри 𝕷. Якщо 𝕾 = 0, тобто якщо алгебра 𝕷 не має розв'язних ідеалів, відмінних від 0, то алгебра 𝕷 називається напівпростою. Якщо 𝕷 немає ідеалів взагалі, відмінних від 0 і 𝕷, і якщо 𝕷’≠0, то алгебра 𝕷 називається простою. Якщо 𝕷 проста, а 𝕾 – її радикал, то або 𝕷 = 𝕾, або 𝕾 = 0. Але якщо 𝕷 = 𝕾, то 𝕾’ ⊂ 𝕾 і 𝕾’ – ідеал, так що 𝕾’=𝕷’= 0, що суперечить означенню. Тому 𝕾 = 0, тобто з умови простоти випливає напівпростота. Якщо 𝕾 – радикал, то довільний розв'язний ідеал в 𝕷/𝕾 має вигляд 𝕭/𝕾, де 𝕭 – ідеал в 𝕷. Але ідеал 𝕭 розв'язний по лемі; тому 𝕭 ⊆ 𝕾 і 𝕭/𝕾 = 0. Таким чином алгебра 𝕷/𝕾 – напівпроста. Якщо 𝕭 – ненульовий розв'язний ідеал в 𝕷 і 𝕭^(h-1) ≠ 0, 𝕭^(h) = 0, то 𝕭^(h-1) абелевий ідеал в 𝕷, відмінний від нуля. Тому алгебра 𝕷 напівпроста, якщо в ній немає ненульових абелевих ідеалів. Трьохвимірні алгебри Лі, для яких dim 𝕷’ = 3 (або 𝕷’ = 𝕷) прості.

Алгебра Лі 𝕷 називається нільпотентною, якщо 𝕷^k = 0 для деякого додатного числа k. Тепер як і в випадку розв'язних ідеалів, можна зробити висновок, що в скінченновимірній алгебрі Лі 𝕷 існує нільпотентний ідеал 𝕽 що містить кожен нільпотентний ідеал із 𝕷. Ми назвемо 𝕽 ніль-радикалом алгебри 𝕷. Він міститься в радикалі 𝕾. В випадку двохвимірної неабелевої алгебри 𝜱𝘦 + 𝜱𝘧, [𝘦𝘧] = 𝘦, 𝕾 = 𝕷 і 𝕽 = 𝜱𝘦. Факторалгебра 𝕷/𝕽 абелева і тому нільпотентна. Таким чином, можливе строге включення 𝕾 ⊃ 𝕽, і 𝕷/𝕽 може мати ненульовий ніль-радикал.

Теорія нільпотентних радикалів і ідеалів має аналог у випадку асоціативних алгебр. Якщо 𝕭₁ і 𝕭₂ – підпростори асоціативної алгебри 𝕬, то через 𝕭₁𝕭₂ позначається підпростір, натягнутий на всі добутки 𝑏₁𝑏₂, 𝑏_і⋲ 𝕭_і. Алгебра 𝕬 називається нільпотентною, якщо існує таке додатнє число 𝑘, що 𝕬^𝑘 =0 (𝕬¹ = 𝕬, 𝕬^𝑘 = 𝕬^𝑘-1𝕬). Це еквівалентне тому, що кожен добуток 𝑘 елементів із 𝕬 рівний 0. Якщо 𝕽₁ і 𝕽₂ – нільпотентні ідеали в 𝕬, то, як легко довести, 𝕽₁ + 𝕽₂ – також нільпотентний ідеал. Тому, якщо алгебра 𝕬 – скінченновимірна, то в 𝕬 існує максимальний нільпотентний ідеал 𝕽, що містить кожен нільпотентний ідеал. Ідеал 𝕽 називається радикалом алгебри 𝕬. Алгебра 𝕬/𝕽 напівпроста в тому сенсі, що вона немає нільпотентних іделів, відмінних від нуля.

 

Приклади

1. Довестипершу та другувластивості закону композиції [𝕭₁𝕭₂] (3).

Доведення: 1. [𝕭₁ 𝕭₂] = = = − = −[𝕭₂ 𝕭₁].

2. [𝕭₁ + 𝕭₂, 𝕭₃] = = =

= = [𝕭₁ 𝕭₃] + [𝕭₂ 𝕭₃].

2. Нехай 𝕬, 𝕭 – асоціативні алгебри. Показати, що якщо 𝛉 –гомоморфізм алгебри 𝕬 в 𝕭, то 𝛉 є гомоморфізмом алгебри 𝕬_𝐿 в 𝕭_𝐿.

Доведення: 𝛉 – гомоморфізм алгебри 𝕬 в 𝕭 ⟹ для операцій «−» та «×», визначених на даних алгебрах для ∀ 𝑎₁ ∈ 𝕬, 𝑏₁ ∈ 𝕭 виконується:

𝛉 (𝑎₁ − 𝑏₁) = 𝛉 (𝑎₁) – 𝛉 (𝑏₁); 𝛉(𝑎₁ × 𝑏₁ ) = 𝛉 (𝑎₁) × 𝛉(𝑏₁) ⟹ ∀ 𝑎₂ ∈ 𝕬_𝐿, 𝑏₂ ∈ 𝕭_𝐿 𝛉 ([𝑎₂ 𝑏₂]) = 𝛉 (𝑎₂𝑏₂ − 𝑏₂𝑎₂) = 𝛉 (𝑎₂𝑏₂) – 𝛉 (𝑏₂𝑎₂) = 𝛉 (𝑎₂) × 𝛉 (𝑏₂) − 𝛉(𝑏₂) × ×𝛉 (𝑎₂) =[ 𝛉 (𝑎₂) 𝛉 (𝑏₂)] ∎

3. Якщо 𝑆 – підмножина в лієвій алгебрі 𝕷, то централізатором 𝕮(𝑆) є підмножина таких елементів 𝑐, що [𝑠𝑐]=0 для всіх 𝑠 ∈ 𝑆. Показати, що 𝕮(𝑆) – підалгебра.

Доведення: включення очевидне, доведемо замкненість. ∀ 𝑐 ∈ 𝕮(𝑆) [𝑠𝑐] = 𝑠𝑐 − 𝑐𝑠 = 0 ⟹ 𝑠𝑐 = 𝑐𝑠 ⟹ ∀ 𝑐₁, 𝑐₂ ∈ 𝕮(𝑆) [𝑠,𝑐₁𝑐₂] = 𝑠𝑐₁𝑐₂ − 𝑐₁𝑐₂𝑠 =

= 𝑐₁𝑠𝑐₂− 𝑐₁𝑐₂𝑠 = 𝑐₁𝑐₂𝑠 − 𝑐₁𝑐₂𝑠 = 0. ∎

4. Перевірити, що якщо 𝕷 має базис (е₁, е₂, …, е₈) з таблицею множення

[𝑒₁ 𝑒₂] = 𝑒₅, [𝑒₁ 𝑒₃] = 𝑒₆, [𝑒₁ 𝑒₄] = 𝑒₇, [𝑒₁ 𝑒₅] = −𝑒₈,

[𝑒₂ 𝑒₃] = 𝑒₈, [𝑒₂ 𝑒₄] = 𝑒₆, [𝑒₂ 𝑒₆] = −𝑒₇, [𝑒₃ 𝑒₄] = −𝑒₅,

[𝑒₃ 𝑒₅] = −𝑒₇, [𝑒₄ 𝑒₆] = −𝑒₈, всі решта [𝑒_𝑖 𝑒_𝑗] = 0,

і для 𝑖 < 𝑗 [𝑒_𝑖 𝑒_𝑖] = 0, [𝑒_𝑖 𝑒_𝑗] = −[𝑒_𝑗 𝑒_𝑖], то 𝕷 – нільпотентна алгебра Лі.

Доведення: Нехай (α,𝑒): = α₁𝑒₁ + α₂𝑒₂ + … + α₈𝑒₈ ∈ 𝕷, де α – деякий скаляр. При піднесенні даного елемента до квадрату ми отримаємо елемент виду β₅𝑒₅ + β₆𝑒₆ + β₇𝑒₇ + β₈𝑒₈. Знову підносимо до квадрату, в результаті чого отримуємо 0. Отже, дана алгебра Лі 𝕷 є нільпотентною з ступенем нільпотентності 3. ∎

 

Розділ 2

Напівпрості алгебри Лі

Наша перша ціль – показати, що алгебра Лі над полем характеристики 0 напівпроста тоді і тільки тоді, коли вона не вироджена. З огляду на теорему 2. 1. 2., можна звести вивчення напівпростих алгебр Лі до вивчення простих алгебр Лі.

На протязі всього цього розділу вважається, що основне поле Р має характеристику 0.