Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Класифікація простих алгебр Лі. Класичні прості алгебри Лі ⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5
Будь яка підалгебра Картана даної напівпростої алгебри Лі 𝑔 визначає розклад 𝑔 по кореневим підпросторам і фундаментальну систему коренів. Цю фундаментальну системи можна розглядати як 𝜋 – систему, і ми щойно завершили класифікацію останніх. Ціль даного параграфа – показати, що класифікація простих алгебр Лі над алгебраїчно замкнутим полем 𝑃 характеристики 0 співпадає з класифікацією 𝜋 – систем. (теорема 2. 8. 1.). На протязі цього параграфа 𝑔 позначає напівпросту алгебру Лі. На протязі цього параграфа ми будемо вважати, що поле 𝑃 алгебраїчно замкнуте і 𝑐𝘩𝑎𝑟 𝑃 = 0. Згідно попереднього параграфу, класифікація простих алгебр Лі над 𝑃 буде завершена, якщо ми зможемо для кожної із діаграм Динкіна, перерахованих в теоремі 2. 7. 4., вказати володіючу нею просту алгебру Лі. Теорема 2. 8. 1. Нехай 𝑔 – напівпроста алгебра Лі з фундаментальною системою коренів 𝜋 і - напівпроста алгебра Лі з функціональною системою коренів . Якщо 𝜋 ≅ , то 𝑔 ≅ . Позначимо через 𝐸𝑖𝑗 матрицю, у якої на (𝑖, 𝑗)-му місці стоїть 1, а на інших 0. Дальше, нехай 1𝑛 позначає одиничну матрицю із 𝑔𝑙 (𝑛, 𝑃). (А) Спеціальна лінійна алгебра Лі 𝔄 (𝑙 + 1, 𝑃) (𝑙 ≥ 1). (𝔄 (𝑛, 𝑃) = {𝑆 ∈ 𝑔𝑙 (𝑛, 𝑃): 𝑡𝑟 𝑆 = 0}) Ця алгебра діє незвідно на 𝑃𝑙 + 1, проста і має розмірність (𝑙 + 1)2 – 1 = 𝑙2 + + 2𝑙. Алгебра 𝖍 = 𝘴𝘥𝘪𝘢𝘨 (𝑙 + 1, 𝑃) = { } служить її підалгеброю Картана. Будемо писати () замість Σ . Визначимо ε𝑖 ∈ 𝖍* формулою ε𝑖 () = 𝑥𝑖, 𝑖 = 1, …, 𝑙 + 1. Тоді 𝘢𝘥 () = (𝑥𝑖 − 𝑥𝘫) (𝑖 ≠ 𝘫), 𝛥 = {ε𝑖 – ε𝘫: 𝑖 ≠ 𝘫}, 𝜋 = {𝛼𝑖 = =ε𝑖 – ε𝑖 + 1: 𝑖 = 1, …, 𝑙}. Елемент () ∈ 𝖍 регулярний тоді і тільки тоді, коли всі 𝑥𝑖 різні. Мають місце рівності 𝐵 (𝑋, 𝑌) = 2 (𝑙 +1) 𝑡𝑟 𝑋𝑌, = (0, …, 0, 1, − , 0, …, 0) (1 на 𝑖-му місці). Звідси, ми можемо обчислити <𝛼𝑖, 𝛼𝘫> = 𝐵 (, ) = 2(𝑙 + 1) 𝑡𝑟 : <𝛼𝑖, 𝛼𝘫> = Таким чином, діаграмою Динкіна системи 𝜋 є 𝐴𝑙. Далі, розглянемо представлення 𝑔𝑙 (𝑛, 𝑃) ∋ 𝑋 ⟼ 𝑓 (𝑋) ∈ 𝑔𝑙 (𝑔𝑙 (𝑛, 𝑃)),
𝑓 (𝑋) 𝑌 = − 𝑡𝑋𝑌 – 𝑌𝑋 (𝑌 ∈ 𝑔𝑙 (𝑛, 𝑃)) і для 𝜑 ∈ 𝑔𝑙 (𝑛, 𝑃) покладемо 𝑙 (𝜑) = {𝑋 ∈ 𝑔𝑙 (𝑛, 𝑃): 𝑓 (𝑋) 𝜑 = 0}. Ясно, що 𝑙(𝜑) є підалгеброю в 𝑔𝑙 (𝑛, 𝑃). Якщо елементи 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑃𝑛. розглядаються як вектор-стовпчики, то 𝑡𝑢𝜑𝑣 є білінійною формою і, навпаки, всяка білінійна форма на 𝑃𝑛 має такий вид. Тому, вважаючи 𝜑 (𝑢, 𝑣) = 𝑡𝑢𝜑𝑣 ми отримуємо, що 𝑙 (𝜑) = {𝑋 ∈ 𝑔𝑙 (𝑛, 𝑃): 𝜑 (𝑋𝑢, 𝑣) + 𝜑 (𝑢, 𝑋𝑣) = 0}. В цих позначеннях маємо 𝑙 (1𝑛) = 𝑜 (𝑛, 𝑃), 𝑙 (𝐽𝑛) = 𝔓 (𝑛, 𝑃) ⊂ 𝑔𝑙 (2𝑛, 𝑃), де 𝐽𝑛 = . Для доведення того, що ці алгебри напівпрості, нам знадобиться наступне твердження. Твердження 2. 8. 2. Нехай 𝜑 – невироджена симетрична або косо-симетрична білінійна форма на 𝑃𝑛. Якщо 𝑛 ≥ 3, то 𝑙 (𝜑) діє незвідно на 𝑃𝑛. Так як 𝑜 (𝑛, 𝑃) ∩ 𝑃1𝑛 = 0, то алгебри Лі 𝑜 (𝑛, 𝑃) (𝑛 ≥3) s 𝔓 (𝑛, 𝑃) (𝑛 ≥ 2) напівпрості. Далі, оскільки 𝑜 (𝑛, 𝑃) складається із двох кососи-метричних матриць, 𝑑𝑖𝑚 𝑜 (𝑛, 𝑃) = 𝑛 (𝑛 − 1)/2. (В) Ортогональна алгебра Лі 𝑜 (2𝑙 + 1, 𝑃). Для того,щоб знайти підалгебру Картана в зручній формі, ми спочатку приведемо форму 12𝑙 + 1 (𝑥, 𝑦) = до вигляду 𝜑 (, ) = + за допомогою лінійного перетворення 0 = 𝑥0, 𝑖 = (𝑥𝑖 + 𝑥𝑙 + 𝑖), 𝑙 + 𝑖 = (𝑥𝑖 − 𝑥𝑙 + 1) (1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑙.) Іншими словами, покладемо 𝜑 = , 𝑆 = ; Ясно, що 𝑆−1 = 𝑡𝑆, так як 𝑆 є ортогональною матрицею, і 𝑆−1𝜑𝑆 = 12𝑙 + 1. Далі, легко побачити, що 𝑜 (2𝑙 + 1, 𝑃) = 𝑙 (12𝑙 + 1) = 𝑆−1 𝑙 (𝜑) 𝑆. Так як 𝑙 (𝜑) = {𝑋 ∈ 𝑔𝑙 (2𝑙 + 1, 𝑃): 𝑡𝑋𝜑 + 𝜑𝑋 = 0}, то 𝑙 (𝜑) = . Позначимо через (𝑥1, …, 𝑥𝑙) елемент алгебри 𝑙 (𝜑), для якого 𝐴 є діагональною матрицею з діагональними елементами 𝑥1, …, 𝑥𝑙, а 𝐵, 𝐶, 𝑎, 𝑏 рівні 0. Нехай 𝔥 позначає абелеву алгебру Лі, що складається із всіх (𝑥1,…,𝑥𝑙).
Дальше визначимо умовою 𝑏𝑙 = 1, умовою 𝑎𝑙 = 1, умовою 𝐵 = 𝐸𝑖𝑗 − 𝐸𝑗𝑖, (𝑖 < 𝑗), умовою 𝐶 = 𝐸𝑖𝑗 − 𝐸𝑗𝑖, (𝑖 < 𝑗), умовою 𝐴 = 𝐸𝑖𝑗 (𝑖 ≠ 𝑗) (причому вважається, що всі інші елементи рівні 0). Тоді { (𝑖≠𝑗)} є базисом в 𝑙 (𝜑) по модулю 𝖍 і (*) Звідси, зокрема, випливає, що нормалі затор алгебри 𝔥 співпадає з нею самою, так що 𝔥 – підалгебра Картана. Далі, 𝛥 = {±ε𝑖, ±ε𝑖 ± ε𝑗 (𝑖 ≠ 𝑗)} є кореневою системою відносно 𝔥. Покладемо 𝛼1 = ε1 – ε2, 𝛼2 = ε2 – ε3, …, 𝛼𝑙 − 1 = ε𝑙 − 1 – ε𝑙, 𝛼𝑙 = ε𝑙. Тоді ε𝑖 − ε𝑗 = 𝛼𝑖 + 𝛼𝑖 + 1 + … + 𝛼𝑗 (𝑖 < 𝑗), ε𝑖 − ε𝑗 = − (𝛼𝑗 + 𝛼𝑗 + 1 + … + 𝛼𝑖) (𝑗 < 𝑖), ± ε𝑖 = = ± ((ε𝑖 − ε𝑙) + ε𝑙), ± (ε𝑖 + ε𝑗) = ± ((ε𝑖 − ε𝑙) + (ε𝑗 − ε𝑙) + 2ε𝑙) (𝑖 ≠ 𝑗). Як наслідок, кожен корінь є лінійною комбінацією коренів 𝛼1, …, 𝛼𝑙 з невід’ємними або недодатними цілими коефіцієнтами. Значить, 𝜋 = { 𝛼1, …, 𝛼𝑙} - фундаментальна система коренів. Далі, для довільного 𝐻 = (𝑥1, …, 𝑥𝑙) ∈ 𝖍 маємо на увазі (*): 𝐵 (𝐻, 𝐻) = 2 () = = 2 (2𝑙 − 1) = (2𝑙 – 1) 𝑡𝑟 𝐻2, = і <𝛼𝑖, 𝛼𝑗> = <𝛼𝑖, 𝛼𝑖> = Звідси видно, що діаграма Динкіна алгебри 𝑙 (𝜑) співпадає з 𝐵𝑙. А отже, алгебра o (2𝑙 + 1, 𝑃) ≅ 𝑙 (𝜑) проста. Тоді 𝐵 (𝑋, 𝑌) = (2𝑙 – 1) 𝑡𝑟 𝑋𝑌. (С) Симплектична алгебра Лі 𝔓 (𝑙, 𝑃) (𝑙 ≥ 1).Маємо 𝔓 (𝑙, 𝑃) = {𝑋 ∈ 𝑔𝑙 (2𝑙, 𝑃): 𝑡𝑋𝐽𝑙 + 𝐽𝑙𝑋 = 0} = = 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ 𝑔𝑙 (𝑙, 𝑃), 𝐵 = 𝑡 𝐵, 𝐶 = 𝑡 𝐶 . Алгебра 𝔓 (𝑙, 𝑃) напівпроста і незвідна для всіх 𝑙 ≥ 2 і 𝔓 (1, 𝑃) = 𝔄 (2, 𝑃). Далі, 𝑑𝑖𝑚 𝔓 (𝑙, 𝑃) = 𝑙2 + 2 = 2𝑙2 + 𝑙. Покладемо (𝑥1, …, 𝑥𝑙) = , = , (𝑖, 𝑗 = 1, …, 𝑙), = , (𝑖, 𝑗 = 1, …, 𝑙), = , (𝑖 ≠ 𝑗). Тоді 𝑎𝑑 (𝑥1, …, 𝑥𝑙) = (± 𝑥𝑖 ± 𝑥𝑗) . Звідси видно, що 𝖍 = {(𝑥1, …, 𝑥𝑙)} є підалгеброю Картана. Покладемо 𝛼1 = ε1 – ε3, …, 𝛼𝑙 − 1 = ε𝑙 − 1 – ε𝑙 і 𝛼𝑙 = 2ε𝑙. Тоді ε𝑖 − ε𝑗 = 𝛼𝑖 + 𝛼𝑖 + 1 + … + 𝛼𝑗 – 1 (𝑖 < 𝑗), ε𝑖 − ε𝑗 = − (𝛼𝑗 + 𝛼𝑗 + 1 + … + 𝛼𝑖 − 1) (𝑗 < 𝑖), ± (ε𝑖 + ε𝑗) = = ± ((ε𝑖 − ε𝑙) + (ε𝑗 − ε𝑙) + 2ε𝑙) Як наслідок, 𝜋 = {𝛼1, …, 𝛼𝑙} - фундаментальна система коренів. Для 𝐻 = (𝑥1, …, 𝑥𝑙) маємо: 𝐵 (𝐻, 𝐻) = 2 ( = = 2 (2𝑙 + 2) = (2𝑙 + 2) 𝑡𝑟 𝐻2, = і <𝛼𝑖, 𝛼𝑗> = <𝛼𝑖, 𝛼𝑖> = Звідси видно, що діаграма Динкіна для {𝛼1, …, 𝛼𝑙} співпадає з 𝐶𝑙 і алгебра 𝔓 (𝑙, 𝑃) проста. Отже, також 𝐵 (𝑋, 𝑌) = (2𝑙 + 2) 𝑡𝑟 𝑋𝑌.
(D) Ортогональна алгебра Лі o (2𝑙, 𝑃) (𝑙 ≥ 3).Більша частина міркувань, що відноситься до алгебри o (2𝑙 + 1, 𝑃) проходить і тут. Відмітимо тільки відмінності. Ми вважаємо 𝜑 = , 𝑆 = ; і отримаємо, що 𝑆−1 𝜑 𝑆 = 12𝑙 і 𝑆−1 𝑙 (𝜑) = o (2𝑙, 𝑃), де 𝑙 (𝜑) - сукупність матриць виду , 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ 𝑔𝑙 (𝑙, 𝑃), 𝑡𝐵 + 𝐵 = 0, 𝑡𝐶 + 𝐶 = 0. Далі розглянемо 𝑙 (𝜑). Нехай (𝑥1, …, 𝑥𝑙) = , 𝖍 = {(, …, )} і (𝑖 ≠ 𝑗) визначені аналогічно попередньому. Тоді 𝑎𝑑 (𝑥1, …, 𝑥𝑙) = (± 𝑥𝑖 ± 𝑥𝑗) . Звідси випливає, що 𝔥 – підалгебра Картана і 𝛥 = {±ε𝑖 ± ε𝑗: 1≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑙, 𝑖 ≠ 𝑗} - її коренева система. Вважаємо 𝜋 = {𝛼1, …, 𝛼𝑙}, 𝛼1 = ε1 – ε2, …, 𝛼𝑙 − 1 = ε𝑙 − 1 – ε𝑙, 𝛼𝑙 = ε𝑙 – 1 + ε𝑙. Із формул ε𝑖 − ε𝑗 = ± (ε𝑖 + ε𝑗) = ± ((ε𝑖 − ε𝑙 − 1) + (ε𝑗 − ε𝑙) + (ε𝑙 – 1 + ε𝑙)), 𝑖 < 𝑗, видно, що 𝜋 – фундаментальна система. Для 𝐻 = (𝑥1, …, 𝑥𝑙) маємо: 𝐵 (𝐻, 𝐻) = = 2 (2𝑙 − 2) = (2𝑙 − 2) 𝑡𝑟 𝐻2, = <𝛼𝑖, 𝛼𝑗> = При 𝑙 = 1 ця алгебра Лі одновимірна. При 𝑙 = 2 маємо <𝛼1, 𝛼2> = 0 і діаграмою Динкіна є o o. Звідси випливає, o (4, 𝑃) ≅ 𝐴1 ⨁ 𝐴1. Якщо 𝑙 ≥ 3, то 𝜋 нерозкладна і o (2𝑙, 𝑃) - проста алгебра типу 𝐷𝑙. Зауважимо, що 𝐷3 = 𝐴3. Маємо 𝐵 (𝑋, 𝑌) = (2𝑙 – 2) 𝑡𝑟 𝑋𝑌. Розмірності простих алгебр Лі представлені в наступній табличці:
Висновок Основним результатом роботи є твердження про те, що алгебра Лі над полем характеристики 0 напівпроста тоді і тільки тоді, коли вона невироджена. Це дозволяє звести вивчення напівпростих алгебр Лі до вивчення простих алгебр Лі. Як наслідок отримується ще один важливий результат, а саме - класифікація простих алгебр Лі над полем характеристики 0.
|
|||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-10; просмотров: 392; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.226.254.255 (0.123 с.) |