ТОП 10:

Класифікація простих алгебр Лі. Класичні прості алгебри Лі



Будь яка підалгебра Картана даної напівпростої алгебри Лі 𝑔 визначає розклад 𝑔 по кореневим підпросторам і фундаментальну систему коренів. Цю фундаментальну системи можна розглядати як 𝜋 – систему, і ми щойно завершили класифікацію останніх. Ціль даного параграфа – показати, що класифікація простих алгебр Лі над алгебраїчно замкнутим полем 𝑃 характеристики 0 співпадає з класифікацією 𝜋 – систем. (теорема 2. 8. 1.). На протязі цього параграфа 𝑔 позначає напівпросту алгебру Лі.

На протязі цього параграфа ми будемо вважати, що поле 𝑃 алгебраїчно замкнуте і 𝑐𝘩𝑎𝑟 𝑃 = 0. Згідно попереднього параграфу, класифікація простих алгебр Лі над 𝑃 буде завершена, якщо ми зможемо для кожної із діаграм Динкіна, перерахованих в теоремі 2. 7. 4., вказати володіючу нею просту алгебру Лі.

Теорема 2. 8. 1. Нехай 𝑔 – напівпроста алгебра Лі з фундаментальною системою коренів 𝜋 і - напівпроста алгебра Лі з функціональною системою коренів . Якщо 𝜋 ≅ , то 𝑔 ≅ .

Позначимо через 𝐸𝑖𝑗 матрицю, у якої на (𝑖, 𝑗)-му місці стоїть 1, а на інших 0. Дальше, нехай 1𝑛 позначає одиничну матрицю із 𝑔𝑙 (𝑛, 𝑃).

(А) Спеціальна лінійна алгебра Лі 𝔄 (𝑙 + 1, 𝑃) (𝑙 ≥ 1).

(𝔄 (𝑛, 𝑃) = {𝑆 ∈ 𝑔𝑙 (𝑛, 𝑃): 𝑡𝑟 𝑆 = 0})

Ця алгебра діє незвідно на 𝑃𝑙 + 1, проста і має розмірність (𝑙 + 1)2 – 1 = 𝑙2 + + 2𝑙. Алгебра 𝖍 = 𝘴𝘥𝘪𝘢𝘨 (𝑙 + 1, 𝑃) = { }

служить її підалгеброю Картана. Будемо писати ( ) замість Σ . Визначимо ε𝑖 ∈ 𝖍* формулою ε𝑖 ( ) = 𝑥𝑖, 𝑖 = 1, … , 𝑙 + 1. Тоді 𝘢𝘥 ( ) = (𝑥𝑖 − 𝑥𝘫) (𝑖 ≠ 𝘫), 𝛥 = {ε𝑖 – ε𝘫: 𝑖 ≠ 𝘫}, 𝜋 = {𝛼𝑖 = =ε𝑖 – ε𝑖 + 1: 𝑖 = 1, … , 𝑙}.

Елемент ( ) ∈ 𝖍 регулярний тоді і тільки тоді, коли всі 𝑥𝑖 різні. Мають місце рівності 𝐵 (𝑋, 𝑌) = 2 (𝑙 +1) 𝑡𝑟 𝑋𝑌,

= (0, … , 0, 1, − , 0, … , 0) (1 на 𝑖-му місці).

Звідси, ми можемо обчислити <𝛼𝑖, 𝛼𝘫> = 𝐵 ( , ) = 2(𝑙 + 1) 𝑡𝑟 :

<𝛼𝑖, 𝛼𝘫> =

Таким чином, діаграмою Динкіна системи 𝜋 є 𝐴𝑙.

Далі, розглянемо представлення

𝑔𝑙 (𝑛, 𝑃) ∋ 𝑋 ⟼ 𝑓 (𝑋) ∈ 𝑔𝑙 (𝑔𝑙 (𝑛, 𝑃)),

𝑓 (𝑋) 𝑌 = − 𝑡𝑋𝑌 – 𝑌𝑋 (𝑌 ∈ 𝑔𝑙 (𝑛, 𝑃))

і для 𝜑 ∈ 𝑔𝑙 (𝑛, 𝑃) покладемо 𝑙 (𝜑) = {𝑋 ∈ 𝑔𝑙 (𝑛, 𝑃): 𝑓 (𝑋) 𝜑 = 0}. Ясно, що 𝑙(𝜑) є підалгеброю в 𝑔𝑙 (𝑛, 𝑃). Якщо елементи 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑃𝑛. розглядаються як вектор-стовпчики, то 𝑡𝑢𝜑𝑣 є білінійною формою і, навпаки, всяка білінійна форма на 𝑃𝑛 має такий вид. Тому, вважаючи 𝜑 (𝑢, 𝑣) = 𝑡𝑢𝜑𝑣 ми отримуємо, що 𝑙 (𝜑) = {𝑋 ∈ 𝑔𝑙 (𝑛, 𝑃): 𝜑 (𝑋𝑢, 𝑣) + 𝜑 (𝑢, 𝑋𝑣) = 0}. В цих позначеннях маємо

𝑙 (1𝑛) = 𝑜 (𝑛, 𝑃),

𝑙 (𝐽𝑛) = 𝔓 (𝑛, 𝑃) ⊂ 𝑔𝑙 (2𝑛, 𝑃),

де

𝐽𝑛 = .

Для доведення того, що ці алгебри напівпрості, нам знадобиться наступне твердження.

Твердження 2. 8. 2. Нехай 𝜑 – невироджена симетрична або косо-симетрична білінійна форма на 𝑃𝑛. Якщо 𝑛 ≥ 3, то 𝑙 (𝜑) діє незвідно на 𝑃𝑛.

Так як 𝑜 (𝑛, 𝑃) ∩ 𝑃1𝑛 = 0, то алгебри Лі 𝑜 (𝑛, 𝑃) (𝑛 ≥3) s 𝔓 (𝑛, 𝑃) (𝑛 ≥ 2) напівпрості. Далі, оскільки 𝑜 (𝑛, 𝑃) складається із двох кососи-метричних матриць, 𝑑𝑖𝑚 𝑜 (𝑛, 𝑃) = 𝑛 (𝑛 − 1)/2.

(В) Ортогональна алгебра Лі 𝑜 (2𝑙 + 1, 𝑃). Для того,щоб знайти підалгебру Картана в зручній формі, ми спочатку приведемо форму 12𝑙 + 1 (𝑥, 𝑦) = до вигляду 𝜑 ( , ) = + за допомогою лінійного перетворення

0 = 𝑥0, 𝑖 = (𝑥𝑖 + 𝑥𝑙 + 𝑖), 𝑙 + 𝑖 = (𝑥𝑖 𝑥𝑙 + 1) (1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑙.)

Іншими словами, покладемо

𝜑 = , 𝑆 = ;

Ясно, що 𝑆1 = 𝑡𝑆, так як 𝑆 є ортогональною матрицею, і 𝑆1𝜑𝑆 = 12𝑙 + 1. Далі, легко побачити, що 𝑜 (2𝑙 + 1, 𝑃) = 𝑙 (12𝑙 + 1) = 𝑆1 𝑙 (𝜑) 𝑆.

Так як 𝑙 (𝜑) = {𝑋 ∈ 𝑔𝑙 (2𝑙 + 1, 𝑃): 𝑡𝑋𝜑 + 𝜑𝑋 = 0}, то

𝑙 (𝜑) = .

Позначимо через (𝑥1, … , 𝑥𝑙) елемент алгебри 𝑙 (𝜑), для якого 𝐴 є діагональною матрицею з діагональними елементами 𝑥1, … , 𝑥𝑙 , а 𝐵, 𝐶, 𝑎, 𝑏 рівні 0. Нехай 𝔥 позначає абелеву алгебру Лі, що складається із всіх (𝑥1,…,𝑥𝑙).

Дальше визначимо умовою 𝑏𝑙 = 1, умовою 𝑎𝑙 = 1, умовою 𝐵 = 𝐸𝑖𝑗 − 𝐸𝑗𝑖, (𝑖 < 𝑗), умовою 𝐶 = 𝐸𝑖𝑗 − 𝐸𝑗𝑖, (𝑖 < 𝑗), умовою 𝐴 = 𝐸𝑖𝑗 (𝑖 ≠ 𝑗) (причому вважається, що всі інші елементи рівні 0). Тоді { (𝑖≠𝑗)} є базисом в 𝑙 (𝜑) по модулю 𝖍 і

(*)

Звідси, зокрема, випливає, що нормалі затор алгебри 𝔥 співпадає з нею самою, так що 𝔥 – підалгебра Картана. Далі, 𝛥 = {±ε𝑖, ±ε𝑖 ± ε𝑗 (𝑖 ≠ 𝑗)} є кореневою системою відносно 𝔥.

Покладемо 𝛼1 = ε1 – ε2, 𝛼2 = ε2 – ε3, … , 𝛼𝑙 − 1 = ε𝑙 − 1 – ε𝑙, 𝛼𝑙 = ε𝑙. Тоді ε𝑖 − ε𝑗 = 𝛼𝑖 + 𝛼𝑖 + 1 + … + 𝛼𝑗 (𝑖 < 𝑗), ε𝑖 − ε𝑗 = − (𝛼𝑗 + 𝛼𝑗 + 1 + … + 𝛼𝑖) (𝑗 < 𝑖), ± ε𝑖 = = ± ((ε𝑖 − ε𝑙) + ε𝑙), ± (ε𝑖 + ε𝑗) = ± ((ε𝑖 − ε𝑙) + (ε𝑗 − ε𝑙) + 2ε𝑙) (𝑖 ≠ 𝑗).

Як наслідок, кожен корінь є лінійною комбінацією коренів 𝛼1, … , 𝛼𝑙 з невід’ємними або недодатними цілими коефіцієнтами. Значить, 𝜋 = { 𝛼1, … , 𝛼𝑙} - фундаментальна система коренів.

Далі, для довільного 𝐻 = (𝑥1, … , 𝑥𝑙) ∈ 𝖍 маємо на увазі (*):

𝐵 (𝐻, 𝐻) = 2 ( ) =

= 2 (2𝑙 − 1) = (2𝑙 – 1) 𝑡𝑟 𝐻2,

=

і

<𝛼𝑖, 𝛼𝑗> =

<𝛼𝑖, 𝛼𝑖> =

Звідси видно, що діаграма Динкіна алгебри 𝑙 (𝜑) співпадає з 𝐵𝑙. А отже, алгебра o (2𝑙 + 1, 𝑃) ≅ 𝑙 (𝜑) проста. Тоді 𝐵 (𝑋, 𝑌) = (2𝑙 – 1) 𝑡𝑟 𝑋𝑌.

(С) Симплектична алгебра Лі 𝔓 (𝑙, 𝑃) (𝑙 ≥ 1).Маємо

𝔓 (𝑙, 𝑃) = {𝑋 ∈ 𝑔𝑙 (2𝑙, 𝑃): 𝑡𝑋𝐽𝑙 + 𝐽𝑙𝑋 = 0} =

= 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ 𝑔𝑙 (𝑙, 𝑃), 𝐵 = 𝑡 𝐵, 𝐶 = 𝑡 𝐶 .

Алгебра 𝔓 (𝑙, 𝑃) напівпроста і незвідна для всіх 𝑙 ≥ 2 і 𝔓 (1, 𝑃) = 𝔄 (2, 𝑃). Далі, 𝑑𝑖𝑚 𝔓 (𝑙, 𝑃) = 𝑙2 + 2 = 2𝑙2 + 𝑙.

Покладемо

(𝑥1, … , 𝑥𝑙) = ,

= , (𝑖, 𝑗 = 1, … , 𝑙),

= , (𝑖, 𝑗 = 1, … , 𝑙),

= , (𝑖 ≠ 𝑗).

Тоді 𝑎𝑑 (𝑥1, … , 𝑥𝑙) = (± 𝑥𝑖 ± 𝑥𝑗) .

Звідси видно, що 𝖍 = {(𝑥1, … , 𝑥𝑙)} є підалгеброю Картана.

Покладемо 𝛼1 = ε1 – ε3, … , 𝛼𝑙 − 1 = ε𝑙 − 1 – ε𝑙 і 𝛼𝑙 = 2ε𝑙. Тоді ε𝑖 − ε𝑗 = 𝛼𝑖 + 𝛼𝑖 + 1 + … + 𝛼𝑗 – 1 (𝑖 < 𝑗), ε𝑖 − ε𝑗 = − (𝛼𝑗 + 𝛼𝑗 + 1 + … + 𝛼𝑖 − 1) (𝑗 < 𝑖), ± (ε𝑖 + ε𝑗) = = ± ((ε𝑖 − ε𝑙) + (ε𝑗 − ε𝑙) + 2ε𝑙)

Як наслідок, 𝜋 = {𝛼1, … , 𝛼𝑙} - фундаментальна система коренів. Для 𝐻 = (𝑥1, … , 𝑥𝑙) маємо: 𝐵 (𝐻, 𝐻) = 2 ( =

= 2 (2𝑙 + 2) = (2𝑙 + 2) 𝑡𝑟 𝐻2,

=

і

<𝛼𝑖, 𝛼𝑗> =

<𝛼𝑖, 𝛼𝑖> =

Звідси видно, що діаграма Динкіна для {𝛼1, … , 𝛼𝑙} співпадає з 𝐶𝑙 і алгебра 𝔓 (𝑙, 𝑃) проста. Отже, також 𝐵 (𝑋, 𝑌) = (2𝑙 + 2) 𝑡𝑟 𝑋𝑌.

(D) Ортогональна алгебра Лі o (2𝑙, 𝑃) (𝑙 ≥ 3).Більша частина міркувань, що відноситься до алгебри o (2𝑙 + 1, 𝑃) проходить і тут. Відмітимо тільки відмінності. Ми вважаємо

𝜑 = , 𝑆 = ;

і отримаємо, що 𝑆1 𝜑 𝑆 = 12𝑙 і 𝑆−1 𝑙 (𝜑) = o (2𝑙, 𝑃), де 𝑙 (𝜑) - сукупність матриць виду , 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ 𝑔𝑙 (𝑙, 𝑃), 𝑡𝐵 + 𝐵 = 0, 𝑡𝐶 + 𝐶 = 0.

Далі розглянемо 𝑙 (𝜑). Нехай

(𝑥1, … , 𝑥𝑙) = , 𝖍 = {( , … , )}

і (𝑖 ≠ 𝑗) визначені аналогічно попередньому. Тоді

𝑎𝑑 (𝑥1, … , 𝑥𝑙) = (± 𝑥𝑖 ± 𝑥𝑗) .

Звідси випливає, що 𝔥 – підалгебра Картана і 𝛥 = {±ε𝑖 ± ε𝑗 : 1≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑙, 𝑖 ≠ 𝑗} - її коренева система. Вважаємо 𝜋 = {𝛼1, … , 𝛼𝑙}, 𝛼1 = ε1 – ε2, … , 𝛼𝑙 − 1 = ε𝑙 − 1 – ε𝑙, 𝛼𝑙 = ε𝑙 – 1 + ε𝑙. Із формул ε𝑖 − ε𝑗 =

± (ε𝑖 + ε𝑗) = ± ((ε𝑖 − ε𝑙 − 1) + (ε𝑗 − ε𝑙) + (ε𝑙 – 1 + ε𝑙)), 𝑖 < 𝑗,

видно, що 𝜋 – фундаментальна система. Для 𝐻 = (𝑥1, … , 𝑥𝑙) маємо:

𝐵 (𝐻, 𝐻) = = 2 (2𝑙 − 2) = (2𝑙 − 2) 𝑡𝑟 𝐻2,

=

<𝛼𝑖, 𝛼𝑗> =

При 𝑙 = 1 ця алгебра Лі одновимірна. При 𝑙 = 2 маємо <𝛼1, 𝛼2> = 0 і діаграмою Динкіна є o o.

Звідси випливає, o (4, 𝑃) ≅ 𝐴1 ⨁ 𝐴1.

Якщо 𝑙 ≥ 3, то 𝜋 нерозкладна і o (2𝑙, 𝑃) - проста алгебра типу 𝐷𝑙. Зауважимо, що 𝐷3 = 𝐴3. Маємо 𝐵 (𝑋, 𝑌) = (2𝑙 – 2) 𝑡𝑟 𝑋𝑌.

Розмірності простих алгебр Лі представлені в наступній табличці:

Алгебра Лі 𝐴𝑙 𝐵𝑙 𝐶𝑙 𝐷𝑙 𝐺2 𝐹4 𝐸6 𝐸7 𝐸8
Розмірність (𝑙 + 1)2 − 1 2𝑙2 + 𝑙 2𝑙2 + 𝑙 2𝑙2 − 𝑙

 

Висновок

Основним результатом роботи є твердження про те, що алгебра Лі над полем характеристики 0 напівпроста тоді і тільки тоді, коли вона невироджена. Це дозволяє звести вивчення напівпростих алгебр Лі до вивчення простих алгебр Лі. Як наслідок отримується ще один важливий результат, а саме - класифікація простих алгебр Лі над полем характеристики 0.

 







Последнее изменение этой страницы: 2017-02-10; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.226.251.81 (0.016 с.)