Формула сложения вероятностей.

Если А и В несовместны р(А+В)=р(А)+р(В)

р(А)+р(Ā) =1.

Каждому событию А ставится в соответствие некоторое подмножество множества W. Все возможные исходы (элементы множества) – множество элементарных событий. W={ωi} Все возможные события – система подмножеств s.

s={A1,A2...}

1.Любое подмножество можно представить в виде суммы ωi.

2.Если А1, А2,…Îs (алгебра событий), то А1ÈА2È…Îs, А1ÇА2Ç…Îs (если А1, А2,… - события, то их объединение тоже событие)

3.Если А – событие, то Ā есть тоже событие.(АÎs, то Ā Îs)

Аксиомы вероятностей.

1.Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное число р(А), называемое вероятностью события А.

2.Если события А1, А2,…попарно несовместны, то р(А1,А2,…)= р(А1)+р(А2)+…

Правило сложения вероятностей.

Если событие А и В несовместны, то Р{А + В} = Р{А} + Р{В}

Доказательство:

Е, N_раз , N_А раз наблюдалось событие А, N_В раз наблюдалось событие В, N_А+В раз наблюдалось событие А+В.

Так как А и В несовместны, то N_А+В = N_А + N_В, N_А+В / N = N_А / N+ N_В / N.

Если устремить N ® ¥, то получается Р{А + В} = Р{А} + Р{В}

Обобщение: Если А₁, А₂, …, А_n – попарно несовместны, то

Р{А₁ + А₂ + … + А_n } = Р{А₁} + Р {А₂}+ … + Р {А_n}

 

 

Формула полной вероятности. Формула Байеса

Если события Н₁, Н₂,…,Н_n попарно несовместны и образуют полную группу, то для вероятности любого события А справедлива формула р(А)=р_Н1(А₁)р(Н₁)+р_Н2(А)р(Н₂)+…+р_Hn(А)р(Н_n). Вероятность события А равна сумме произведений условных вероятностей этого события по каждой из гипотез на вероятность самих гипотез.

Формула Байеса. (условие – событие А может наступить только с одной из гипотез). Эта формула определяет вероятность, что имела место именно эта гипотеза.

Вывод формулы.

p(AH_i)=p_Hi(A)p(H_i)

p(H_iA)=p_A(H_i)p(A) приравниваем правые части, получим

p_Hi(A)p(H_i)=p_A(H_i)p(A) воспользуемся формулой полной вероятности.

p_A(H_i)= р_Hi(A)p(H_i).

р_Н1(А₁)р(Н₁)+р_Н2(А)р(Н₂)+…+р_Hn(А)р(Н_n)

Дискретная СВ и ее закон распределения.

Величина, принимающая в результате испытания (опыта) определенное значение, называется случайной величиной. СВ Х называется дискретной, если существует конечное и счетное множество S={х₁, х₂,…} такое, что Р(ХÎS)=1. Числа х₁, х₂,…называются возможными значениями СВ Х.

Пусть р_i=Р(Х=х_i) – вероятность возможного i-го значения. При х_i ≠ х_j события Х=х_i и Х= х_j несовместны. Применяя правило сложения вероятностей для несовместных событий получим:

 

Таблица

Х	х1	х2	…
Р	р1	р2	…

называется законом распределения дискретной СВ Х. Для любой СВ функция распределения – F(x)=P(X<x). В случае дискретной СВ функция распределения имеет вид

 

 

 

F(x) – ступенчатая функция со скачками в х1, х2,…, причем величины скачков равны р1, р2,…

Числовые хар-ки СДВ.

Математическим ожиданием дискретной СВ Х, множество возможных значений которой конечно, называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности: М(Х)=х₁р₁+х₂р₂+…+х_np_n

Свойства. 1.Матем. ожидание константы равно константе: М(С)=С

2.Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ)=СМ(Х)

3.Математическое ожидание суммы СВ равно сумме мат. ожиданий слагаемых:

М(Х1+Х2+…+Хn)=M(X1)+M(X2)+…+M(Xn)

4.Математическое ожидание произведений независимых СВ равно произведению математических ожиданий сомножителей. (дискр.СВ наз. независимыми, если Р(Х₁=а₁,…Хn=a_n)=P(X₁=a₁)*…Р(Xn=a_n).

Для любой СВ Х разность Х-М(Х) называется отклонением Х. Математическое ожидание квадрата отклонения СВ Х называется дисперсией Х. По определению D(X)=M(X-M(X))².

Стандартное отклонение СВ Х определяется как корень квадратный из дисперсии и обозначается s(х). Из свойств математического ожидания: D(X)=M(X²)-M(X)²

Свойства. 1.Прибавление (вычитание) константы к СВ не меняет ее дисперсии D(X+C)=D(X)

2.Постоянный множитель выносится из-под знака дисперсии в квадрате D(СX)=С²D(X)

3.Дисперсия суммы независимых СВ равна сумме дисперсий слагаемых D(X1+…+Xn)=D(X1)+…+ D(Xn)

Важно помнить, что дисперсия константы равна 0: D(C)=0

Начальным моментом порядка К СВ Х называют математическое ожидание величины Х^к: nк=М(Х^к)

Центральным моментом порядка к случайной величины Х называют математическое ожидание величины (Х-М(Х)) ^к

mк=М[(X-M(X)) ^к]

Cоотношение, связывающее начальные и центральные моменты: m2=n2-n1²

При изучении распределений, отличных от нормального, возникает необходимость количественно оценить это различие. С этой целью вводят специальные характеристики – асимметрию и эксцесс (для нормального распределения эти характеристики равны 0). Асимметрией теоретического распределения (теоретическим называют распределение вероятностей) называют отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения: Аs=m₃\s³

Эксцессом теоретического распределения называют характеристику, которая определяется следующим равенством: Ек=(m₄\s⁴)-3