Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Свойства функций непрерывных в точкеСтр 1 из 8Следующая ⇒
1)Если f(x), g(x) – непрерывны в точке x0, то f(x) ± g(x); f(x)• g(x); f(x)/g(x) (g(x) ≠ 0) – также непрерывны в точке x0. Докажем, что F(x) = f(x)•g(x) непрерывна в точке x0 Дано: f(x) и g(x) – непрерывны в x0 Û lim f(x) = f(x0); lim g(x) = g(x0) X ® Xo X ® Xo lim (f(x)•g(x)) = limf(x)•lim g(x) (по свойству предела функции) = f(x0)•g(x0) (по X ® Xo X ® Xo X ® Xo определению непрерывности) ® F(x) = f(x)•g(x) непрерывна в x0.
2) f(x) – непрерывна в точке x0, существует такая окрестность точки f(x0) > 0 x0, во всех точках которой f(x) > 0.
Производная функции и ее геометрический смысл. Приращением функции y =f(x) в точке x0 называется разность Δу=f(x)-f(x0)= f(x+Δx)-f(x0) Производной от функции y=f(x) в точке х0 наз. Предел отношения Δу/Δх, когда Δх→0 (при усл., что этот предел существует) Написать обозначение производной. Геометрический смысл производной. Пусть Г- график функции y=f(x). Рассмотрим на Г т. А(x0,f(x0)) и т. В (x0+Δx,f(x0+Δx)) В С y=f(x) А
Прямая АВ называется секущей. Будем считать, что y=f(x)-непрерывная функция, тогда если Δх→0, то f(x0+Δx)→f(x0), т.е. В→А при Δх→0. Пусть γ – угол наклона секущей относительно оси ОХ. Если существует предел lim γ=γ0 при Δх→0, то прямая, проходящая через А и образующая с осью ОХ угол γ0, называется касательной к Г в точке А. Пусть С(f(x0+Δх), f(x0)) – точка, дополняющая отрезок АВ до прямоуг. треугольника АВС. Т.к. АС//ОХ, то tgγ =Δу/Δх. Переходя к пределу, получим: tgγ0=f′(x0) Т.е. геометрический смысл производной состоит в том, что f′(x0) – это тангенс угла наклона касательной к графику y=f(x) в точке (x0,f(x0)). Уравнение касательной. Найдем ур-е касательной к графику Г ф-и y=f(x) в точке А(х0, f(x0)): т.к. т. А принадлежит Г и ур-ю касательной, то f(x0)=kx0+b, откуда b= f(x0)-kx0, значит, касательная задается след. Ур-м: y= kx+ f(x0)-kx0= f(x0)+k(х-x0) Т.к. k= f′(x0), то y=f(x0)+ f′(x0)(х-х0). Односторонние производные. Правой(левой) производной от y=f(x) в точке x0 называется предел f′(x0)=lim (f(x+Δx)-f(x0))/Δх при Δх→0+0(Δх→0-0). Если левая и правая производные функции в точке x0 сущ-т, и они равны, то производная f′(x0) сущ-т и равна им. Если же левая и правая производные функции в точке x0 не равны, то y=f(x) не имеет производной в точке x0. Правила дифференцирования Теорема. Если функции u=f(x), v=g(x) дифференцируемы в точке х0, то сумма, разность, произведение и частное этих функций также дифференцируемы в точке ч0 и выполняются следующие формулы:
(U+(-)v)′=u’+(-)v’ (uv)’= u’v + uv’ (u/v)’= (u’v - uv’)/v2 Производная сложной и обратной функций. Теорема. Если функция y=f(x) дифференцируема в точке t0, g(t0)=x0, то сложная функция y=f(g(x)) также дифференцируема в точке t0 и выполняется след. Формула: f’(g(x))=f’(x0)*g’(t0) Теорема. Если y=f(x) имеет обратную ф-ю x=g(y) и в точке х0 производная f′(x) не равна 0, то обратная функция g(y) диф-ма в точке y0=f(x0) и g’(y)=1/f(x0)
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-09; просмотров: 204; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.222.80.122 (0.004 с.) |