Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Производные и дифференциалы высших порядкров.
Если для функции y=f(x) определена производная у(к-1) порядка (к-1), то производную у(к) порядка к (при условии ее существования) определяют как производную от производной порядка (к-1), т.е. у(к) = (у(к-1))′. В частности, у’’=(y’)’- производная второго порядка, y’’’=(y’’)’ – третьего и т.д. При вычислении производных высших порядков используют те же правила, что и для вычисления у’. Табл. Произ-х высшего порядка:
Дифференциалы высших порядков ф-и y=f(v) последовательно определяются таким образом: d2y=d(dy) – диф-л 2-го порядка d3y=d(d2y)… dny=d(d n-1 y) - диф-л n-го порядка Если ф-я y=f(v), где v – независимая переменная или линейная ф-я v=кх+в переменной х, то d2y=y’’(dv)2, d3y=y’’’(dv)3,…, dny=y(n)(dv)n. Если же y=f(v), где v=g(x)≠кх+в, то d2y=f’’(v)*(dv)2+ f’(v)d2v и т.д. (т.е. св-во инвариантности не выполняется). Формула Тейлора. Пусть функция f(x) имеет n производных в точке x0. Многочлен T(x) = f(x0) + ((f’(x0))/1!)(x – x0)1 + (f ”(x0))/2!(x – x0)2 +…+ (f (n)(x0))/n!(x – x0)n Называется n-м многочленом Тейлора функции f(x) в точке x0. Пусть функция f(x) имеет в ε – окрестности точки x0 (n + 1) производных. Тогда для любой точки х из этой окрестности найдется точка с, расположенная между точками х и х0, для которой выполняется следующая формула F(x) = T(x) + (f(n+1)(c) / (n + 1)!)(x – x0)n+1 – формула Тейлора, где Т(x) – n-й многочлен Тейлора функции f(x) в точке х0, rn(x) = (f(n+1)(c) / (n + 1)!)(x – x0)n+1 – остаточный член в формуле Лагранжа. Предположим, что (n+1)-я производная функция f(x) ограничена в окрестности точки х0. Тогда rn(x) является бесконечно малой более высокого порядка, чем (х-х0)n при х ® х0. (lim (rn(x)/(х-х0)n) = lim [((f(n+1)(c))/(n+1)!)(x-x0)] = 0 – в силу Х®Хо Х®Хо Ограниченности f(n+1) (c) в окрестности х0.) Следовательно ошибка в приближенном равенстве f(x)» Tn(x) (*) также является бесконечно малой более высокого порядка, чем (х – х0)n, когда х ® х0. Формула (*) применяется для приближенных вычислений. Используя равенство (*) можно подучить, например следующие формулы (при х®0): 1) (1+x)a» 1 + (a/1!)x + (a(a-1)/2!)x2 +…+ (a(a-1)…(a-n+1)/n!)xn, 2) ex» 1 + x/1! + x2/2! +…+ xn/n!, 3) ln(1+x)» x – x2/2 + x3/3 – x4/4 +…+(-1)n+1xn/n 4) sin x» x – x3/3! + x5/5! – x7/7! +…+(-1)kx2k+1/(2k+1)!, 5) cos x» 1 – x2/2! + x4/4! – x6/6! +…+(-1)kx2k/(2k)!, где в каждом случае ошибка является бесконечно малой относительно хn.
Условия монотонности функции. Если у=f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема на этом отрезке, то у=f(x)-const, тогда и только тогда, когда f¢(x)=0 при "х'[a,b]. Следствие у=f(x), y=g(x) непрерывна и диффиренцируема на (a,b) и f¢(x)=g¢(x), то f(x)=g(x)+C. y=f(x) возрастает на Х, если для любых х1,х2'Х, таких что х1<x2Þ f(x1)<f(x2), убывает если x1<x2Þ f(x1)>f(x2). Достаточное условие монотонности. Если функция непрерывна, дифференцируема на (a,b) и внутри (a,b) сохраняет знак, то функция у=f(x) монотонна. Докажем для f¢(x)>0 Þ y=f(x) – возрастает на (a,b) (для убывающей функции доказательство аналогичное) Доказательство. Возьмём точки из отрезка (a,b) х1 и х2, такие что х1<х2. По теореме Лагранжа найдётся тоска с, приналежащая отрезку, для которой f(x2)-f(x1)= f¢(c)(x2-x1). Так как х1<c<x2, то точка с является внутренней точкой промежутка Х. Поэтому f¢(c)³0 и f(x2)³f(x1). Таким образом, мы доказали, что функция f(x) не убывает на промежутке Х. Условия сущ. экстремула Необходимое условие существования экстремума. Для того, чтобы дифференцируемая функция f(x) имела в точке х0 локальный экстремум, необходимо, чтобы в этой точке выполнялось равенство f¢(x0)=0. Доказательство. Поскольку х0 – точка экстремума, то существует такой интервал (х0-e, х0+e), на котором f(x0) – наибольшее или наименьшее значение. Тогда по теореме Ферма f¢(x0)=0. Точки, в которых производная функция обращается в нуль, называются стационарными. Достаточное условие существование экстремума. Если при переходе через точку х0 производная дифференцируемой функции f(x) меняет свой знак с плюса на минус, то точка х0 – точка локального максимума функции f(x), а если с минуса на плюс, то х0 – точка локального минимума. Доказательство. (для максимума, для минимума – аналогично, то бишь самостоятельно) Пусть f(x) – непрерывная дифференцируемая функция. f¢(x) меняет знак с «+» на «-». Пусть для любого хÎ (х0 -D, х0] f¢(x)>0 Þ по достаточному условию монотонности производная возрастает на данном интервале Þ f(x0)³f(x) "CÎ(x0-D, x0] Пусть для "CÎ[х0,х0+D) f¢(x)<0, следовательно, функция убывает на хÎ[х0,х0+D) Þf(x0)³f(x) для любого хÎ[х0,х0+D).
Вывод: для любого х Î (х0-D, х0+D) х0 – точка максимума для функции у=f(x). Ч.т.д.
|
||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-09; просмотров: 144; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.149.254.35 (0.008 с.) |