Розподіл енергії в спектрів випромінювання абсолютно

чорного тіла. Формула Планка

Наприкінці XIX ст. були проведені теоретичні пошуки функції ε ( ν, T). У 1887 р, В.О. Міхельсон (1860–1927) застосував методи статистичної фізики до множини елементарних випромінювачів, якою уявляли нагріте тіло, і знайшов формулу для e( ν, Т). Проте вона лише наближено відбивала дослідну криву випромінювання. У 1893 р. він одержав формулу для ε ( ν, T) методом екстраполяції, але вона збігалася з дослідними даними лише в ділянці коротких хвиль. Спираючись на закони класичної електродинаміки і закон рівномірного розподілу енергії за ступенями вільності, Д. Релей вивів для ε ( ν, T) таку формулу:

, (2.12)

в одиничному інтервалі довжин хвиль. В інтервалі довжин або в інтервалі частот формула Релея матиме вигляд

, (2.13)

де с – швидкість світла у вакуумі; k – стала Больцмана.

Формула Релея давала правильні значення в інтервалі великих довжин хвиль, але приводила до абсурдного результату при обчисленні інтегральної випромінювальної здатності (виходило, що ) та давала значні відхилення від дослідних даних в інтервалі коротких хвиль. Усі ці труднощі (в науці їх образно називали «ультрафіолетовою катастрофою»), а також труднощі в поясненні закономірності лінійчастих спектрів свідчили про те, що класична електромагнітна теорія випромінювання є дуже наближеною і потребує докорінного перегляду.

У 1900 p. M. Планк започаткував нову квантову теорію випромінювання. Він висунув гіпотезу, що енергія атомного осцилятора може набувати лише цілком певних, дискретних значень, а тому його випромінювання має бути не безперервним, а дискретним, тобто випромінюватися окремими порціями, квантами. Енергія кванта має бути пропорційна частоті:

,

де h – стала Планка.

З цих припущень М. Планку вдалося вивести для формулу, яка добре узгоджувалася з дослідними даними.

Для виведення формули Планка уявімо у твердому тілі, нагрітому до температури Т,замкнену порожнину. Стінки порожнини випромінюватимуть і поглинатимуть електромагнітні хвилі і в ній встановиться певне рівноважне випромінювання. Припустимо, що внаслідок випромінювання і поглинання енергія атомів стінок змінюється стрибкоподібно:

. (2.14)

Атоми, що мають енергію назвемо збудженими.

Виділимо на стінці деяку ділянку, яка бере участь у рівноважному випромінюванні, і застосуємо до неї закон розподілу атомів за енергіями Больцмана. Згідно із законом, числа атомів, що мають енергію Е₂ і Е₁ відповідно дорівнюють

; ,

звідки

. (2.15)

У стані рівноважного випромінювання число атомів, що випромінюють світло за певний період часу, дорівнює числу атомів, що поглинають світло за цей самий час. Обчислимо кількості актів випромінювання за одиницю часу окремо.

Розглянемо збуджені атоми N₂. їх перехід на нижчий енергетичний рівень, що супроводжується випромінюванням фотонів, може бути самовільним (спонтанним) або відбуватися під впливом падаючих електромагнітних хвиль. Відомо, що відповідно до законів електродинаміки електромагнітна хвиля, яка падає на коливальний диполь, залежно від співвідношення фаз їхніх коливань, може як підсилювати, так і гальмувати коливання диполя. Інакше кажучи, падаючі промені можуть змушувати атом не тільки поглинати, а й випромінювати відповідні кванти енергії. Саме гальмування коливань під дією падаючої хвилі відповідає переходам атомів із вищого енергетичного рівня Е₂ на нижчий Е₁ що супроводжується випромінюванням фотонів.

Кількість спонтанних випромінювань збуджених атомів за одиницю часу, очевидно, пропорційна числу атомів N₂ і дорівнює AN₂,де А – коефіцієнт пропорційності.

Кількість актів випромінювання збуджених атомів, зумовлених падаючими хвилями, пропорційна також числу збуджених атомів N₂ та густині енергії падаючих променів . Оскільки пропорційна , то кількість вимушених випромінювань буде ,де – відповідний коефіцієнт імовірності переходу атомів із вищого енергетичного рівня Е₂ на нижчий рівень E₁.

Кількість усіх випромінювань збуджених атомів, а отже, число фотонів, що випромінюються за одиницю часу, дорівнює

. (2.16)

Кількість актів поглинання фотонів атомами N₁,внаслідок чого вони переходять на вищий енергетичний рівень (для однієї й тієї самої ділянки стінки і за одиницю часу), пропорційна кількості самих атомів і густині енергії падаючих променів. Отже, кількість цих атомів

, (2.17)

де – відповідний коефіцієнт імовірності переходу атомів з рівня Е₁ на рівень Е ₂.

Прирівнявши вирази (2.16) і (2.17) для рівноважного випромінювання, дістанемо:

. (2.18)

Розв’яжемо цe рівняння відносно , взявши до уваги рівність (2.15). Матимемо: . (2.19)

Коефіцієнти А, В₁₂ і В₂₁ можна визначити з граничних умов. ,

1. За нескінченно високої температури, коли формула (2.19) набуває вигляду

. (2.20)

З іншого боку, коли . З останнього випливає, знаменник у виразі (2.20) прямує до нуля, отже . Підставивши цей вираз у формулу (2.19) дістанемо

(2.21)

2. Для інтервалу довгих хвиль енергія кванта випромінювання дуже мала порівняно з енергією теплового руху тому можна обмежитися двома першими членами розкладеної в ряд функції ,

.

Отже, формулу (2.21) можна записати в такому вигляді.

. (2.22)

Оскільки для дуже довгих хвиль енергія квантів надто мала, то на ту енергію, що випромінюється з одиниці площі за одиницю часу, припадає таке велике число квантів, що процес випромінювання практично можна вважати безперервним. Саме тому для цього інтервалу справджується класична формула Релея (2.12). Прирівнявши вирази

(2.22) і (2.13), отримаємо

,

звідки

.

Якщо підставити це значення для коефіцієнтів у вираз (2.21), то матимемо формулу Планка в одиничному інтервалі частот:

. (2.23)

В інтервалі частот її записують так:

, (2.24)

де h= 6,62х10^-34 Дж · с – стала Планка; k = 1,38·10^-34 Дж/К – стала Больцмана.

Формулу Планка інакше називають законом розподілу спектральної потужності рівноважного випромінюваная з одиниці поверхні абсолютно чорного тіла в тілесний кут 2π залежно від температури Т.

Для цього проінтегруємо вираз ε(v, T)dv за частотою від 0 до ∞:

;

 

зробивши заміни

,

 

 

дістанемо

, (2.25)

де останній інтеграл виражає число, що дорівнює .

Знайдений вираз засвідчує, що повна енергія випромінювання пропорційна четвертому степеню абсолютної температури тіла.

Закон Віна можна отримати при розв’язуванні задачі на знаходження максимуму функції ε(v, T). Для цього потрібно першу похідну від Ј(v, T) по v прирівняти до нуля і з останнього рівняння знайти v_mx.

Формула Планка дає змогу обчислити, який відсоток випромінюваної енергії припадає на заданий інтервал частот. Можна довести, що навіть для дуже високих температур у земних умовах на видиме світло припадає лише 3–5 % енергії випромінювання; ще менше її припадає на частку ультрафіолетових променів. Основна частина енергії випромінювання пов’язана із інфрачервоними променями. З цього пог­ляду електричні лампи розжарювання – це більше теплові, ніж освітлювальні прилади. Зауважимо, що в люмінесцентних лампах на частку видимого світла припадає 10–12% усієї споживаної енергії.

Гіпотеза Планка про квантовий характер випромінювання виявилася плідною і в інших галу­зях фізики. У 1905 р. А. Ейнштейн на основі цієї гіпотези створив квантову теорію фотоефекту, а в 1913 p. H. Бор розробив квантову теорію будови атома.

2.4. Фотоелектричний ефект. Дослідження О. Г. Столєтова

Одним із найважливіших проявів взаємодії світла із речовиною, що розкриває квантову природу світла, а також має велике практичне значення, є так званий фотоелектричний ефект (фотоефект). Як відомо, фотоефект є результатом взаємодії фотонів світла з електронами речовини. Зокрема, в конденсованих системах (твердих тілах, рідинах) фотони спричинюють або вилітання електронів за межі тіл (зовнішній фотоефект), або ж перехід їх з однієї енергетичної зони в іншу (внутрішній фотоефект).

Явище фотоефекту відкрив Г. Герц у 1883 р. Він помітив, що електричний розряд між двома цинко­вими кульками відбувається швидше, якшо одну ізних освітити ультрафіолетовими променями. Проте фотоефект як самостійне фізичне явище був вивче­ний О. Г. Столєтовим у 1888–1890 рр.

Вже в перших дослідах із зарядженими металевими пластинками О. Г. Столєтов установив, що під впливом падаючих променів світла, переважно ультрафіолетового, тіло втрачає заряд, але тільки тоді, коли воно заряджене негативно; позитивний заряд тіла під дією світла не зменшується.

Досліди, проведені з пластинками різних металів засвідчували, що струм у колі з’являється тільки тоді, коли освітлюється катод; очевидно, носіями струму ставали вивільнені під дією світла електрони катода. Збільшення напруги між катодом і анодом спочатку призводило до збільшення фотоструму в колі (рис. 2.5), але після досягнення деякої напруги величина фотоструму переставала зростати і залишалася незалежною від напруги.

Рис. 2.5

 

Виникав струм насичення. Подальше збільшення сили струму можна було викликати лише підвищенням інтенсивності світла, що падало на катод. Струм насичення виражають через заряд електрона e і число електронів п,що вивільнюються з катода за одиницю часу:

. (2.26)

Отже, за величиною струму насичення можна було робити висновки про число електронів, що вивільнюються з катода за одиницю часу та про за­лежність їх числа від величини падаючого світлового потоку.

Досліди з чутливим приймачем засвідчили, що потік електронів від освітленого катода досягає анода і без прискорювальної напруги між ними. Щоб звести фотострум до нуля, довелося прикласти до електродів у приладі Столєтова деяку гальмівну напругу U₁ (див. рис. 2.5). Очевидно, електрони, що вивільнилися з катода під дією світла, діставали певну швидкість, яку можна було визначити за ве­личиною гальмівної напруги U₁ а саме:

 

(2.27)

 

де e і m – відповідно заряд і маса електрона.

Дослідження О. Г. Столєтова та інших учених привели до встановлення певних закономірностей фотоефекту.

1. Явище фотоефекту безінерційне, тобто з припиненням освітлення поверхні відразу ж припиняється виділення фотоелектронів; дослідження показали, що час між падінням світлової хвилі і виходом електронів з металу не перевищує 10^-8 с.

2. Число електронів, що вивільнюються світлом за 1 с (або величина фотоструму насичення), прямопропорційне величині світлового потоку, що падає на металеву поверхню але тільки при умові незмінності його спектрального складу.

3. Швидкість вилітаючих фотоелектронів тіла тим більша, чим більша частота хвилі падаючого світла, але вона не залежить від його інтенсивності.

4. Незалежно від інтенсивності світла, фотоефект починається тільки за цілком певної для даного металу мінімальної частоти світла; цю частоту називають «червоною межею» фотоефекту.

Головні закономірності фотоефекту неможливо було узгодити із основними положеннями хвильової теорії світла.

Рівняння Ейнштейна

Чітке пояснення фотоефекту дав А. Ейнштейн у 1905 р- на основі припущення, що світло є потоком матеріальних частинок – фотонів, енергія яких:

,

де h – стала, через яку раніше в теорії Планка визначали енергію кванта випромінювання; v – частота відповідної світлової хвилі.

Зауважимо, що на відміну від М. Планка, який вважав, що системи атомів і молекул здатні тільки випромінювати енергію квантами, а самі можуть мати будь-яку енергію і поглинати її в будь-якій кількості безперервно, А. Ейнштейн розвинув теорію далі припустив, що світло поглинається такими самими порціями, які випромінюються. Отже, за теорією Ейнштейна величина падаючого світлового потоку визначається числом фотонів, що падають на поверхню тіла за одиницю часу; при цьо­му кожен фотон може взаємодіяти тільки з одним електроном.

З теорії Ейнштейна безпосередньо випливають закономірності фотоефекту. Безінерційність підтверджує, що електрони сприймають світлову енергію окремими порціями, внаслідок чого виходять за межі металу. Чим більша величина світлового потоку, тим більше число фотонів у ньому і за тієї самої ймовірності захоплення фотонів за І с вивільнятиметься більше число електронів. Зауважимо, що енергія переважної більшості падаючих фотонів розсіюється в тілі, перетворюється на теплоту, і тільки близько 1 % фотонів спричинює вихід електронів; товщина фотоелектрично активного шару на поверхні металу не перевищує сотні атомних діаметрів.

Застосувавши до взаємодії фотона з електроном «закон збереження енергії», А. Ейнштейн вивів рівняння фотоефекту:

, (2.28)

де hv – енергія фотона; А – робота виходу електрона з освітлюваного тіла;

– надана електрону кінетична енергія.

З рівняння Ейнштейна видно, що швидкість вилітаючих фотоелектронів буде тим більшою, чим більша частота падаючого світла, і вона не залежить вія інтенсивності світла, бо ні А _, ні h не залежать від інтенсивності світла. Цей висновок з рівняння цілком узгоджується з результатами дослідів,

З рівняння (2.28) також випливає, що зовнішній фотоефект можливий за частоти світла . Це означає, що для кожного тіла має існувати певна «червона межа» фотоефекту Vo, яка ще задовольняє рівняння

. (2.29)

Визначаючи «червону межу» фотоефекту, як засвідчують дані дослідів, та використовуючи рівняння (2.29) було знайдено значення ро­боти виходу електронів з різних металів. Ці величини роботи виходу збігалися зі значеннями, знайденими під час вивчення явища термоелектронної емісії в тих самих металах. Було встановлено, що робота виходу електрона з платини становить 5,3 еВ, цинку – 4_,2, цезію – 1,9 еВ і т.д.

2.6. Маса й імпульс фотона.

За теорією Ейнштейна, яка добре узгоджується із законами фотоефекту, світло є потоком окремих матеріальних частинок – фотонів. Ту обставину, що в більшості оптичних дослідів ми не виявляємо квантового характеру світла, пояснюють досить малою величиною енергії окремого фотона. Наприклад, енергія фотона зеленого світла

.

Виходячи із закону взаємозв’язку маси та енергії,

, (2.30)

за енергією фотона можна визначити його „рухому” масу:

. (2.31)

Оскільки за теорією відносності в разі наближення до швидкості світла маса має нескінченно зростати, а для фотона, що переміщується зі швидкістю світла, маса є скінченною величиною (2.31), то з цього випливає, що маса спокою фотона дорівнює нулю.

Маса фотона взагалі дуже мала. Наприклад, для видимого світла кг. Проте в жорстких рентгенівських променях маса фотона стає вже по­рівнянною з масою електрона кг, а в гамма-променях кг, тобто перевищує масу електрона.

За масою фотона m_ф та його швидкістю с знайдемо імпульс фотона:

(2.32)

Із формул (2.31) і (2.32) випливає, що чим більша частота випромінювання v, тим більші маса та імпульс фотона.

Як відомо, фотонна природа світла в теорії Ейн­штейна повністю узгоджуються із законами теплового випромінювання і підтверджується законами фотоефекту.

2.7. Хвильова природа частинок.

До Ісаака Ньютона (1643 – 1727 р.р.) всі вчені розглядали світло, як потік частинок, що швидко рухаються (корпускули). Але в 1801 р. Томас Юнг здійснив перші досліди по інтерференції світла і тим самим підвів тверду експериментальну основу під його хвильову природу. Але наступні досліди показали, що велика кількість фізичних властивостей твердих тіл, рідин і газів може бути пояснена на основі атомістичних уявлень, а експерименти Томаса і Лоренца (кінець ХІХ сторічча) привели до концепції про існуванні елементарної частинки електричного заряда – електрона. А Планк у 1900 р. показав, що джерела випромінюють енергію не неперервно, а окремими і кінцевими порціями – квантами. В 1923 р. Артур Комптон експериментально довів, що кванти рентгенівського випромінювання ведуть себе як частинки з певною енергією і певним імпульсом.

В 1924 р. Луї де Бройль (1892 – 1987 р. р.) висунув ідею, що якщо світло в багатьох випадках прявляє корпускулярні властивості, то частинки, наприклад, електрони, можуть мати хвильові властивості.

В 1927 р. ідеї де Бройля були експериментально підтверджені Девіссоном і Джермером, які показали, що для пучка електронів, як і для світлового пучка, спостерігається явище дифракції.

В 1929 р. німецький вчений Рупп виміряв довжину хвилі електронів.

В 1931 р. Джонсон продемонстрував дифракцію пучка молекул водню при розсіянні в кристалі.

В 1938 р. Естерман, Фріш і Штерн здійснили експеримент по дифракції пучка атомів гелію, тобто хвильова природа частинок була доведена. Але з іншого боку тільки хвильова природа часток не могла задовільно інтерпретувати такі експерименти як комптонівське розсіяння, явище фотоефекту, або той факт, що частинки не можуть рухатися зі

Рис. 2.6

швидкістю світла.

Нільс Бор ввів так званий принцип доповнювальності, згідно якого ні хвилі, ні частинки ніколи не проявляють одночасно в одному і тому ж експерименті і хвильові, і корпускулярні властивоті. Як виявилося в подальшому, подібний корпускулярно-хвильовий дуалізм властивий всім мікрочастинкам.

Розглянемо більш детально досліди, в яких чітко виявляються хвильові властивості частинок – досліди Девіссона і Джермера (амер. фізики, у 1927 р.). В них спостерігається дифракція електронів при розсіянні від кристала Ni.

Електрони, що випромінюються розжаренною ниткою А, прискорюючись різницею потенціалів U між ниткою А і електродом B, падають на кристал никелю Ni і розсіюються по всіх напрямках. Кутовий розподіл інтенсивності розсіяних електронів вимірюється за допомогою рухомого гальванометра G, при різних значеннях різниці потенціалів U. Виявляється, що при куті 2q=50^° і різниці потенціалів U=54 В спостерігається різкий максимум в діаграмі залежності I(q). Кут q визначається наступним чином: атомні поверхні, відстань між якими

D, розташовані перпендикулярно до площини рисунка (k – перпендикуляр до атомної площини, відповідно d – відстань між атомними площинами). Пучок падає перпендикулярно до поверхні кристала, але під кутом q до перпендикуляра k, коли кут розсіювання дорівнює 2q виникає різкий максимум,наявність якого можна пояснити тільки явищем інтерференції електронних хвиль, що дифрагували на правильно розташованих атомах кристала Ni. Якщо виміряти інтенсивність розсіяних промінів при заданому куті q, але при різних значеннях U, то отримаємо наступний результат: на різних відстанях один від одного з’являються максимуми, що задовільняють формулі Брегга-Вульфа

, (2.32)

де q - кут між падаючим промінем

і перпендикуляром до атомних площин кристала. Криві, наведених рисунків є типовими для розподілу інтенсивності при розсіянні хвиль, тобто частинки (електрони) проявляють в даному випадку чисто хвильові властивості. Наявність таких хвильових властивостей у частинок була передбачена де Бройлем у 1924 р. Розглянемо його гіпотезу. Для світлових квантів (фотонів) ми вже встановили зв’язок між

 

 

Рис.2.9

енергією і імпульсом, де , а релятивістська маса фотона визначається співвідношенням . Тоді для імпульса фотона

, (2.33)

тобто маємо зв’язок між імпульсом P і довжиною хвилі l фотона. Луї де Бройль переніс це поняття на динаміку любих частинок, у яких , і тоді

, (2.34)

визначає відповідну їм довжину хвилі де Бройля.

Повернемося до досліду Девіcсона і Джермера. Кінетична енергія Е_к прискорених електронів , а довжина хвилі відповідної хвилі де Бройля

. (2.35)

Різниця потенціалів U в дослідах Девіссона і Джермера повинна бути не менше 15-20 В, щоб енергія падаючих електронів була більше енергії хаотичного(теплового) руху електронів у металі. Розрахуємо по (4.15) l в даному досліді при U=54 В. Її значення буде ~ 1,6 Å, тобто близьке до l рентгенівського випромінювання, що пояснює добре співпадання результатів досліда по розсіянню рентгенівських промінів і електронів на тих самих кристалах. Як наслідок, висновок: всі мікрочастинки мають хвильові властивості, так що між ними і фотонами немає принципової різниці – і ті і інші мають одночасно як властивості частинок, так і хвильві властивості. Причому хвильові властивості особливо наглядно проявляються в процесі розповсюдження мікрочастинок, а корпускулярні – в процесі взаємодії. Неспостережуваність хвильових властивостей у макрооб’єктів зв’язана з їх надзвичайною малістю відносно розмірів об’єкта. Наприклад для порошинки масою 1 мг і швидкістю 1 м/с маємо довжину хвилі де Бройля:

 

см,

тобто ефект не спостерігається.

Властивості хвиль де Бройля.

Формула плоскої монохроматичної хвилі, що відповідає руху матеріальної частинки в загальному випадку має вигляд:

, (2.36)

де , а хвильовий вектор, напрямок якого співпадає з напрямком розповсюдження хвилі. Якщо в (4.16) замінити w через , а через тоді отримаємо

(2.37)

 

Рис. 2.10

Для фотона хвильова функція - світлова хвиля. Для частинки - плоска хвиля де Бройля. В квантовій механіці називають “псі-функцією”.Хвилі де Бройля розповсюджуються, диафрагують і інтерферують за звичайними оптичними законами. Слід відмітити, що в (4.17) фізичний зміст має не амплітуда хвильової функції , а її квадрат , як міра ймовірності знаходження фотона або частинки в заданій точці простору в даний момент часу. Приклад своєрідності властивостей мікро-частинок в наступному уявному експерименті:

На дві щілини падає паралельний потік моноенергетичних електронів і після їх проходження попадає на фотопластинку. Якщо закрита 1-а щілина, то на фотопластинці буде почорніння, що визначається кривою 2, а якщо закрита 2-а, то – кривою 1. При відкритті обох щілин мала би бути їх сума, якщо не враховувати своєрідні особливості мікрочастинок, а реально виникає чисто інтерференційна картина для когерентних світлових хвиль. При проходженні окремих електронів картина не змінюється, тобто кожний електрон проявляє притаманні йому хвильові властивоті.

1. Розглянемо співвідношення для швидкості розповсюдження хвиль де Бройля.

· Фазова швидкість – власна швидкість розповсюдження монохроматичної хвилі (її фази)

;

, (2.38)

так як с>υ, то фазова швидкість хвиль де Бройля більша швидкості світла в вакуумі (для частинок). Але тут протиріччя нема, так як фазова швидкість не характеризує ні швидкість переміщення сигнала, ні швидкість переміщення енергії. Для фотона , тобто співпадає.

· Групова швидкість – швидкість розповсюдження максимума амплітуди групи хвиль, отриманого в результаті їх суперпозиції.

Нехай ми визначаємо положення частинки в момент t₀ з точністю Δx, тобто частинка знаходиться між x₀ і x₀+Δx. З точки зору хвильової (квантової) теорії це означає, що хвильва функція Ψ(х) не дорівнює нулю тільки на ділянці (x₀ ÷ x₀+Δx). Така функція не являється однією монохроматичною хвилею де Бройля, а представляє собою сукупність таких хвиль, що при накладанні дають один різкий максимум – хвильовий пакет. Швидкість руху хвильового пакета (швидкість переміщення максимума Ψ(х)) дорівнює груповій швидкості хвилі і визначається за формулою

 

 

враховуючи, що , маємо , тоді

тобто групова швидкість хвиль де Бройля дійсно дорівнює швидкості частинок.

2. На довжині орбіти воднеподібного атома укладається ціле число хвиль де Бройля

де λ – довжина хвилі де Бройля, де n=1, 2, 3,...

Ця властивість розповсюджується і на еліптичні орбіти.

2.9. Співвідношення невизначеностей Гейзенберга (1901 – 1976)

Рис. 2.12

Наявність хвильових властивостей у мікрочастинок накладає деякі обмеження на точність одночасного визначення імпульса і координат частинки в даний момент часу. Розглянемо спробу експериментального їх визначення, оцінюючи ймовірність попадання електронів, що пройшли вузьку і довгу щілину, в те чи інше місце фотопластинки. На фотопластинці буде спостерігатися дифракційна картина. Нехай до щілини у електронів буде імпульс .

Електрони, що пройшли крізь щілину, мають

змінений імпульс . Оцінемо зміну імпульса по вісі х, тобто ΔР_х, визначивши кутову відстань від максимума до першого мінімума дифракційної картини, як міру розходження хвилі (напрямок на перший мінімум)

, (2.39)

де – ширина щілини, λ – довжина хвилі де Бройля.

, (2.40)

але , тоді , з врахуванням що , маємо

(2.41)

Співвідношення (4.22), яке виведено для хвильової функції електрона при розсіюванні на щілині, має загальне застосування і носить назву співвідношення невизначеностей Гейзенберга. Якщо врахувати наявність побічних максимумів у досліді, то . Дане співвідношення невизначеностей можна записати через енергію і час, враховуючи, що , тоді і

(2.42)

Слід відзначити, що вказане співвідношення має фундаментальне значення у природі і відноситься до багатьох явищ і процесів.

2. 10. Рівняння Шредінга (1887 – 1961, (австр. фізик)

В 1926 р. Шредінгер, виходячи з ідеї де Бройля про хвильові властивості мікрочасток розробив теорію їх руху – хвильову механіку, в основу якої покладено рівняння Шредінгера, що відіграє в атомних процесах таку саму фундаментальну роль, як і закон Ньютона в класичній механиці. Шредінгер, руху мікрочастинки поставив у відповідність комплексну функцію координат і часу, яка відома нам як хвильова функція або “псі-функція”, вид якої одержується із рішення рівняння Шредінгера наступного типу:

, (2.43)

де m – маса частинок, Δ – оператор Лапласа, U – функція часу і координат. У цьому рівнянні . При русі частинки в стаціонарному силовому полі, функція U не залежить явно від часу і має зміст потенціальної енергії. В такому випадку Ψ-функцію можна отримати з більш простого рівняння:

, (2.44)

де Е – повна енергія частинки (). (2.45) називаається рівнянням Шредінгера для стаціонарних станів, його частіше записують у вигляді:

. (2.46)

Рівняння Шредінгера являється основним рівнянням і не виводиться з яких-небудь міркувань, справедливість його доводиться тим, що всі наслідки, що витікають з нього точно узгоджуються з дослідними фактами. Розглянемо, як можна не вивести, а прийти до рівняння Шредінгера на прикладі одномірного випадку руху частинки, що рухається вільно і якій ми співставляємо по Луї де Бройлю плоску хвилю типа (2.47)

, (2.47)

 

Якщо продиференціювати (4.17) один раз по t, а другий раз двічі по х, то отримаємо

,

звідси

, . (2.48)

У нерелятивістській класичній механиці маємо зв’язок між W_k (кінетичною енергією) і P(імпульсом) у вигляді , підставляючи сюди вираз для E і P з (2.48) отримаємо після скорочення на Ψ рівняння:

, (2.49)

яке співпадає з рівнянням (2.43) при U=0. При русі частинки в силовому полі, що характеризується потенціальною енергією U, повна енергія () і її імпульс Р зв’язаний з кінетичною енергією співвідношенням , підставивши в цей вираз E і P з (4.27), отримаємо:

. (2.50)

Множемо (2.50) на Ψ і переносимо доданок в ліву частину. Отримаємо рівняння:

, (2.51)

яке співпідає з (2.43).

Якщо в рівнянні (2.44) функцію U розглядати як оператор

(оператор – це правило, за допомогою якого одній функції ставиться у відповідність інша функція)

і ввести інший оператор , рівний сумі операторів () і U, тоді рівнянню (2.51) можна придати вигляд:

, (2.52)

де оператор називають гамільтоніаном, який являється оператором енергії.

· Зміст Ψ-функції.

Правильну інтрепрітацію Ψ-функції дав М. Борн (нім. фізик, 1882 – 1970) у 1926 р. Згідно Борну квадрат модуля Ψ-функції визначає густину ймовірності, тобто ймовірність віднесену до одиниці об’єму, виявлення частинки в відповідному місті простору в даний момент часу. Якщо густина ймовірності відмінна від нуля в обмеженому об’ємі dV, тоді інтеграл від добутку Ψ-функції на її комплексно-спряжену по даному об’єму має дорівнювати 1:

. (2.53)

Умова (2.53) називається умовою нормування, а Ψ-функції, що задовільняють даній умові – нормованими. Отже, квантова механіка має чисто статистичний характер і дає можливість передбачати ймовірність виявлення частинки в різних точках простору.

2.11. Найпростіші приклади розв”язків рівняння Шредінгера

У рівняння Шредінгера в якості параметра входить повна енергія частинки Е. В теорії диференціальних рівнянь доводиться, що рівняння типу мають рішення не при любих значеннях Е, а тільки при деяких вибраних, що називаються власними значеннями даного параметра. Рішення, що відповідають власним значенням Е, називаються власними функціями даної задачі. Знайдем власне значення енергії Е і власні функції, що їм відповідають, для декількох задач.

1. Частинка в одномірній потенціальній ямі.