Координатное представление векторов

Пусть мы имеем прямоугольную систему координат в пространстве.

Если вместе с вектором , имеющим произвольную длину, рассмотреть вектор, имеющий единичную длину, но направленный так же, как вектор , то этот вектор называется ортом вектора и обозначается, например, . Отсюда следует, что .

Обозначим единичные векторы (орты) осей Ox, Oy, Oz соответственно через причем .

Разложим произвольный вектор трехмерного пространства по ортам. Для этого построим вектор , равный вектору . Из точки М опустим перпендикуляр на плоскость хOу. Из основания этого перпендикуляра (точка А) опустим перпендикуляры на оси координат Ох и Оу и соединим точку А с началом О. На векторах и построим прямоугольник ОАММ₃, диагональю которого будет вектор . Из рис. 1.7 видно, что или .

 

 

 

Рис. 1.7

Векторы , , называются составляющими вектора .

Координаты точек являются координатами вектора.

Можно сказать, что координатами вектора являются его проекции на оси координат.

Составляющие вектора можно выразить через его проекции (координаты):

 

Подставляя эти значения в равенство и обозначив через получим:

(1.4.1)

Равенство (1.4.1) можно записать в виде:

(1.4.2)

Замечание 1. Равные векторы имеют одинаковые координаты.

Замечание 2. Разложение вектора в виде (1.4.1) возможно только единственным способом.

Из единственности разложения (1.4.1) вектора по ортам, следует, что если координаты любых двух векторов и равны, т.е. , то эти векторы тоже равны.

Вектор , идущий от начала точки О к точке называется радиус - вектором этой точки, и его координаты совпадают с соответствующими координатами точки (рис. 1.8)

 

Рис. 1.8

Поэтому , или . Пусть - вектор, координаты начала и конца которого известны и . Тогда координаты вектора выражаются по формулам:

(1.4.3)

Из рис. 1.9 видно, что

(1.4.4)

 

 

Рис. 1.9

Используя свойства проекций (п.1.2.), имеем: , и аналогичным образом находим .

Разложение вектора по ортам будет иметь следующий вид:

(1.4.5)

Тройка векторов называется координатным базисом, а разложение (1.4.1) вектора называется разложением вектора по базису .

Замечание. Разложение вектора на плоскости по базису имеет вид .

1.5. Операции над векторами, заданными
в координатной форме

Если векторы заданы в координатной форме, то операции сложения и вычитания векторов, умножения вектора на число можно заменить более простыми арифметическими операциями над координатами этих векторов по следующим правилам.

Правило 1. При сложении векторов их одноименные координаты складываются:

, ,

(1.5.1)

Правило 2. Чтобы вычесть из вектора вектор , нужно вычест координаты вектора из соответствующих координат вектора , т.е.

или (1.5.2)

Правило 3. Чтобы умножить вектор на число , нужно умножить на это число его координаты, т.е. если , то .