Векторы в евклидовом пространстве

Элементы векторной алгебры

Векторы в евклидовом пространстве

 

В отличие от скалярных величин, которые полностью характеризуются своим численным значением в выбранной системе единиц (температура, работа, плотность и т.д.), векторные величины, кроме численного значения, обладают также направлением в пространстве (например, сила и скорость).

Из школьного курса математики известно, что вектор можно изобразить направленным отрезком, т.е. отрезком прямой, для которого указано какая точка, является началом и какая концом, и при этом указать единицу масштаба (рис. 1.1).

 

 

Рис. 1.1

Если точка А начало, а В конец вектора, то вектор записывается в виде или .

Численная величина вектора называется модулем вектора. Иногда модуль вектора называют его длиной. Модуль, или длина вектора обозначается как | |, | |.

Вектор, у которого начало совпадает с концом, называется нулевым. Векторы, расположенные на прямой или параллельных прямых, называются коллинеарными и обозначаются . Векторы, лежащие на параллельных плоскостях или на одной и той же плоскости, называются компланарными.

 

Два вектора называются равными, если они имеют одинаковый модуль и направление

.

Решение.

+ =3 + (–5)= –2.

 

 

Рис. 1.3

Имеет место утверждение: при любом расположении трех точек на оси величины векторов , и удовлетворяют соотношению + = (основное тождество).

Доказательство представлено на рис. 1.4, где показаны всевозможные случаи расположения трех точек A, B, C на оси l.

+ =

 

 

 

Рис. 1.4

 

 

Проекция вектора

Проекцией вектора на заданную ось l называется численное значение вектора на оси l (рис. 1.5а).

Проекцией вектора на вектор называется проекция вектора на ось, имеющую с вектором одинаковое направление (рис. 1.5б).

 

 

Рис. 1.5а Рис. 1.5б

 

, где - угол между вектором и осью l.

 

Свойство проекций:

1) Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций этих векторов, т.е.

 

Пр_. Пр. + Пр. ;

2) проекция произведения вектора на число равна произведению числа на проекцию вектора , т.е. Пр_l Пр_l .

Угол между векторами

Из определения скалярного произведения двух векторов следует, что

(1.6.3.1)

Если векторы и заданы координатами и , то формула (1.6.3.1) запишется в виде:

(1.6.3.2)

Свойства векторного произведения

1).

2). , т.е. векторное произведение антикоммутативно.

3). , т.е. векторное произведение обладает распределительным свойством.

4).

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение понятия вектора.

2. Какие векторы называются коллинеарными, компланарными?

3. Основные операции над векторами.

4. Что называется проекцией вектора на заданную ось? Свойство проекций.

5. Дайте определение декартовой прямоугольной системы координат. Векторы в декартовой системе координат.

6. Какая система координат называется полярной? Связь прямоугольных и полярных координат.

7. Запишите операции сложения и умножения вектора на число в координатной форме.

8. Скалярное произведение двух векторов. Определение.

9. Свойства скалярного произведения.

10. Координатная форма записи скалярного произведения.

11. Условия коллинеарности и перпендикулярности векторов. Определение. Свойства.

12. Векторное произведение двух векторов. Определение. Свойства.

13. Координатная форма записи векторного произведения.

14. Смешанное произведение. Свойства.

15. Понятие двойного векторного произведения трех векторов.

Элементы векторной алгебры

Векторы в евклидовом пространстве

 

В отличие от скалярных величин, которые полностью характеризуются своим численным значением в выбранной системе единиц (температура, работа, плотность и т.д.), векторные величины, кроме численного значения, обладают также направлением в пространстве (например, сила и скорость).

Из школьного курса математики известно, что вектор можно изобразить направленным отрезком, т.е. отрезком прямой, для которого указано какая точка, является началом и какая концом, и при этом указать единицу масштаба (рис. 1.1).

 

 

Рис. 1.1

Если точка А начало, а В конец вектора, то вектор записывается в виде или .

Численная величина вектора называется модулем вектора. Иногда модуль вектора называют его длиной. Модуль, или длина вектора обозначается как | |, | |.

Вектор, у которого начало совпадает с концом, называется нулевым. Векторы, расположенные на прямой или параллельных прямых, называются коллинеарными и обозначаются . Векторы, лежащие на параллельных плоскостях или на одной и той же плоскости, называются компланарными.

 

Два вектора называются равными, если они имеют одинаковый модуль и направление

.