Вирахування значення ступiневого полiнома

Поліном (5.1) можна перетворити до вигляду:

. (5.2)

Алгоритм вирахування , складений на підставі виразу (5.2), називається схемою Горнера. У відповiдності до цієї схеми поліном i -го порядку обчислюється за формулою:

. (5.3)

Якщо покласти та виконати операцiю (5.3) n разiв при , то можна отримати бажане значення.

У математицi доведено, що для поліномів загального вигляду не можна побудувати алгоритм бiльш ощадний у розумiннi числа операцiй (n додавань та n множень), анiж схема Горнера.

У ML значення ступiневого полiнома з коефіцієнтами A вираховує функцiя

Y = polyval (A, X),

X – точки, у яких треба обчислити значення СП (може бути скалярною величиною або матрицею).

Операцiї зi ступiневими полiномами

Операцiї з СП складаються з двох частин: 1) формування нового СП, який є результатом операцiї, тобто розрахунок його коефiцiєнтiв; 2) вирахування значення нового СП.

Нехай ми маємо два СП: P_n( A ,x) та G_m( B ,x). А результатом деякої операцiї є ще один СП H_k( C ,x).

Для алгебраічного складання та віднімання поліномів P_n( A ,x) та G_m( B ,x) треба спочатку виконати вiдповiдну операцiю над масивами коефiцiєнтiв A та B. Але, зважаючи на те, що вони мають різний розмiр, попередньо треба доповнити менший за розмiром масив до бiльшого нулями злiва. Для цих операцiй розмір результата H_k( C ,x) можна знайти як k=max(m,n). Функцiя формування коефiцiєнтiв C ступiневого полiнома, який є алгебраічною сумою полiномiв з масивами коефiцiєнтiв A та B може мати вигляд:

function C=polysum(A,B)

n=length(A);

m=length(B);

if n>m, r=n-m; B=[zeros(1,r),B];

elseif m>n, r=m-n; A=[zeros(1,r),A];

end

C=A+B;

% end polysum

Для виконання бiльш складних операцiй ML має встроєнi функцiї conv, deconv, polyder та інші.

C = conv(A, B) – обчислює коефіцієнти ступіневого полінома, який є добутком двох поліномів з векторами коефіцієнтів А і В. Розмір вектора С визначається наступним чином:

length(C)= length(A) + length(B) - 1.

[D, R] = deconv(A, B) – операція розкладу, обчислює:

D – коефіцієнти ступіневого полінома, отриманого від ділення полінома з вектором коефіцієнтів А на поліном з вектором коефіцієнтів В;

R – остача від ділення.

При цьому справедливе відношення:

A = conv(D, B) + R.

A1 = polyder(A) – обчислює коефіцієнти А1 ступіневого полінома, який є похідною полінома з коефіцієнтами А.

[Q, D] = polyder(A, B) – обчислює чисельник Q і знаменник D похідної частки двох поліномів з векторами коефіцієнтів А і В, тобто , або, якщо присутній один вихідний параметр:

D = polyder(A, B) – обчислює коефіцієнти D похідної від добутка поліномів з векторами коефіцієнтів А і В, тобто D =(A • B)'.

 

Завдання

Розрахувати значення змiнноi Z при x, який змiнюється вiд -1 до +1 з кроком 0.1.

Вирази для вирахування Z наведенi у таблицi 5.1. В цих виразах функцiї f ₁(x), f ₂(x), f ₃(x) є ступіневi поліноми, якi рiзняться один вiд одного порядком i значенням коефiцiєнтiв. Побудувати графіки функцій f ₁(x), f ₂(x), f ₃(x)у одному вікні, Z (x) у другому вікні. Вивести на екран f ₁(x), f ₂(x), f ₃(x)та Z (x) у вигляді СП.

Для непарних варiантiв:

;

Для парних варiантiв:

Таблиця 5.1

№ вар.	Функція Z (x)	№ вар.	Функція Z (x)
1, 2		15, 16
3, 4		17, 18
5, 6		19, 20
7,8		21, 22
9, 10		23, 24
11, 12		25, 26
13, 14

 

Лабораторна робота № 6