Теоремы о математическом ожидании и дисперсии.

Доказательство проводится на примере дискретной случайной величины, для непрерывной случайной величины оно аналогично.

Теорема 4.1. Математическое ожидание постоянной (неслучайной, т.е. детерминированной величины) равно этой постоянной.

M[C]=C

 

Доказательство

Постоянную С можно рассматривать как ДСВ, которая может принимать только одно значение С с вероятностью р =1, поэтому

 

Теорема 4.2. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

Пусть X,Y – ДСВ или X,Y – НСВ.

M[X+Y]=M[X]+M[Y]

 

Доказательство

Рассмотрим случай, когда X и Y – ДСВ.

Пусть x₁, x₂,…,x_n,… - возможные значения СВ Х, и

p₁, p₂,…,p_n,… - их вероятности;

y₁, y₂,…,y_k,… - возможные значения СВ Y и

q₁, q₂,…,q_k,… - вероятности этих значений.

Обозначим через p_nk вероятность того, что СВ Х примет значение x_n, а СВ Y – значение y_k.

Возможные значения величины X+Y имеют вид x_n+y_n (k,n=1,2,…)

По определению математического ожидания имеем:

;

Разделим эту сумму на составляющие:

.

Так как по теореме о полной вероятности

 

и ,

то
и ,

следовательно М[X+Y]=M[X]+M[Y].

 

Теорема 4.3. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин X и Y равно произведению их математических ожиданий.

 

Доказательство

Если X и Y – дискретные случайные величины и

x₁, x₂,…,x_n,… - возможные значения СВ Х,

p₁, p₂,…,p_n,… - вероятности этих значений;

y₁, y₂,…,y_k,… - возможные значения СВ Y и

q₁, q₂,…,q_k,… - вероятности этих значений.

то вероятность того, что СВ Х примет значение х_n, а Y – y_k равна p_nk. По определению математическое ожидание:

 

Следствие.

Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

 

Теорема 4.4.

Математическое ожидание линейной функции случайной величины есть линейная функция математических ожиданий компонентов:

.

 

Доказательство.

Теорема 4.5. Дисперсия детерминированной (неслучайной) величины равна нулю:

D[C]=0.

Доказательство

Или же , рассматриваем как ДСВ, которая принимает одно значение С с вероятностью 1.

 

 

Теорема 4.6.

Дисперсия суммы независимых случайных величин Х и Y равняется сумме дисперсий:

D[X+Y]=D[X]+D[Y].

 

Дисперсией СВ Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от ее математического ожидания:

.

Доказательство

 

т.к. СВ Х и Y независимы, то независимы и величины (Х-М[X]) и (Y-M[Y]), следовательно:

т.к. имеем:

 

Следовательно, имеем .

 

Следствие 1.

Если Х₁, Х₂,…,Х_n - случайные величины, каждая из которых независима от суммы предыдущих, то D[X₁+X₂+…+X_n]=D[X₁]+D[X₂]+…+D[X_n]

 

Следствие 2.

Дисперсия сумма конечного числа попарно независимых случайных величин Х₁, Х₂,…, Х_n равна сумме их дисперсий:

 

Теорема 6.7. Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат.

, где С=const.

Доказательство

 

 

Следствие.

.

 

Теорема 6.8. Если Х и Y независимы, то

.

 

Доказательство

Основано на использовании соотношения

D[XY]=M[ (XY- M[XY])²] = M[ (XY - m_xm_y)²] = M[X²Y²]- 2M[XYm_xm_y]+M[m_x²m_y²] = M[x²]M[Y²] – 2m_xm_Y m_xm_Y+ m_x²m_Y² = M[x²]M[Y²] - m_x²m_Y²

D_x= M[x²] – m_x² -> M[x²] = D_x + m_x²

 

Имеем

D[XY]= M[x²] M[Y²] - m_x²m_Y² = (D_x + m_x²)(D_y + m_y²) - m_x²m_Y² =D_xD_y+D_xm_y²+ D_ym_x²+ m_x² m_y² - m_x² m_y² = D_xD_y+D_xm_y²+ D_ym_x²

 

Важную роль в приложении играет нормированная случайная величина.

Для нее и .

 

Моменты.

МО и дисперсия являются частным случаем моментов случайных величин. Различают начальные и центральные моменты.

Начальным моментом k-ого порядка случайной величины X называют МО величины (т.е. МО k-ой степени это величины):

Легко видеть, что характеристика положения - МО случайной величины – есть не что иное, как ее первый начальный момент, т.е.

Перед тем, как дать определение центральных моментов, введем новое понятие «центрированной случайной величины».

Центрированной случайной величиной называют отклонение случайной величины от ее МО.

Нетрудно убедиться, что МО центрированной случайной величины равно 0.

Аналогично и для НСВ.

Центрирование случайной величины равносильно переносу начала отсчета в точку (центр распределения).

Моменты интегрированной случайной величины называют центральными.

Центральным моментом k-ого порядка случайной величины X называют МО k-ой степени центрирования случайной величины

Очевидно, что для любой случайной величины Х центральный момент 1-ого порядка равен нулю.

; , т.к. = =1

Второй центральный момент:

Между центральными и начальными моментами существует связь: одни выражаются через другие. Выведем соответствующие формулы для ДСВ (для НСВ аналогичен при замене на на f(x)) dx, сумм на интегралы).

Второй центральный момент:

=

, т.к.

Таким образом, дисперсию можно рассчитывать как

т.е. дисперсия случайной величины равно МО ее квадрата минус квадрат математического ожидания.

Найдем третий центральный момент:

пользуясь формулой для куба разности

= ,

т.к. , то

Точно таким же способом можно получить выражения для и т.д.

Итак, центральные моменты выражаются через начальные формулы:

и т.д.

МО, дисперсия – чаще всего применяемые числовые характеристики случайных величин. Они характеризуют, как видели ранее, самые важные черты распределения: его положение и степень разбросанности.

Для более подробного описания распределения служат моменты высших порядков. Третий центральный момент служит для характеристики асимметрии («скошенности») распределения. Если распределение симметрично относительно МО, то все центральные моменты нечетного порядка (если они существуют) равны нулю.

Действительно, при симметричном распределении и нечетной k в сумме

каждому положительному слагаемому соответствует равное ему по абсолютной величине отрицательное слагаемое, так что они взаимно уничтожаются и сумма равна нулю (то же справедливо и относительно интеграла, выражающего для нечетного k, который равен нулю как интеграл в симметричных пределах от нечетной функции).

Естественно поэтому в качестве характеристики асимметрии распределения выбрать какой-либо из нечетных моментов – проще всего . Он имеет размерность куба случайной величины. Чтобы получить безразмерную характеристику, делят ее на куб с.к.о. (среднеквадратичное отклонение). Полученная величина называется коэффициентом асимметрии (или просто асимметрия):

или

Для симметричной случайной величины S=0, =0

Четвертый центральный момент служит для характеристики так называемой «крутости», т.е. островершинности распределения (применяется в основном к НСВ). Это свойство характеризуется с помощью эксцесса:

Число 3 вычитается из отношения потому что для часто встречающегося нормального распределения . Для нормального распределения Кривые, более островершинные, чем нормальная, обладают положительным эксцессом, а более плосковершинные – отрицательным. Характеристикой пользуются главным образом для симметричных распределений.

Пример.

Найти коэффициент симметрии и эксцесс случайной величины, распределенной по закону Лапласса с .

Решение.

Т.к. распределение случайной величины симметрично относительно оси ординат, то все нечетные как начальные, так и центральные моменты равны нулю, т.е. и, следовательно, коэффициент симметрии = 0.

Для нахождения эксцесса необходимо вычислить четные начальные моменты

2* ½

Следовательно, =

т.к. , то

2* ½

Эксцесс:

3>0

Эксцесс положительный, следовательно, кривая распределения f(x) является островершинной.