Математическое ожидание и дисперсия классических распределений.

 

Найдем значения математического ожидания и дисперсии для некоторых законов распределения.

Биномиальное распределение.

Известно, что биномиальное распределение описывается формулой:

,

а математическое ожидание для дискретных случайных величин рассчитывается по формуле:

.

Тогда имеем

Следовательно, M[x]=np – с точностью до целого совпадает с модой (наивероятнейшим значением).

Аналогично можно рассчитать дисперсию:

D_x=npq.

 

Распределение Пуассона.

,

(m=0,1,2,….).

Найдем математическое ожидание.

= ae^-a =a

 

Таким образом, M[x]=a

Найдем дисперсию. Для дискретных случайных величин:
,

.

(m-a)²=m² - 2ma + a² = (m² – m) – (2ma - m) +a ² = m(m – 1) – m (2a + 1) +a²

Тогда получаем:

D_x = =

= =

⁼

=

Таким образом, для закона Пуассона M[X]= D[X]= a = параметру закона.

 

 

Распределение равномерной плотности

.

.

,

.

 

3. 4. Показательное распределение

.

.

Замечание.

Учитывая, что при быстрее, чем возрастает степень х.

 

Нормальное распределение

.

 

 

Найдем дисперсию нормального закона распределения.

.

.

Таким образом, дисперсия СВ Х, распределенной по нормальному закону с параметрами равна , а . Значит, параметр есть не что иное как С.К.О СВ Х.

Величина m_x СВ Х, подчиненной нормальному закону распределения, называется ее центром рассеивания.

Размерности как МО так и С.К.О. совпадают с размерностью СВ Х.

Посмотрим, как будет меняться кривая распределения при изменении параметров .

При изменении а кривая f(x), не изменяя своей формы просто будет смещаться вдоль оси абсцисс.

Изменение s равносильно изменению масштаба кривой по обеим осям: например, при удвоении s масштаб по оси абсцисс удвоится, а по оси ординат – уменьшится в 2 раза.

Рисунок 6.4

 

 

Оценим для нормальной СВ Х вероятность попадания на участок от a до b, где a= а-кs и b= а+ks, т.е вероятность попадания в интервал а±ks симметричный относительно m_x=a.

Выше были получены формулы:

- вероятность попадания нормально распределенной СВ Х на интервал от a до b;

или - это вероятность попадания СВ Х на участок длиной 2 l, симметричный относительно центра рассеивания а.

В данном случае .

Пусть k=1, тогда:

;

k=2,

;

k=3,

,

т.е. всего с вероятностью 0,0027 случайная величина, распределенная по нормальному закону, попадает за пределы интервала .

 

Рисунок 6.5

 

С большой точностью Х попадет внутрь этого интервала. Это правило называется правилом «трех σ» для нахождения интервала рассеивания.

Зная этот интервал возможного рассеивания случайной величины Х () вокруг m_x=a, можно найти .

Для неотрицательной СВ Х в качестве характеристики ее «случайности» иногда применяется коэффициент вариации .