ТОП 10:

Многомерные функции распределения.



 

Определение 6.1

Пусть в данном эксперименте определены случайные величины . Тогда каждому случайному событию можно поставить в соответствие n-мерный случайный вектор (кортеж)

,

который задаёт отображение пространства исходов в n-мерное действительное пространство (т. е. ) и для которого событие - пространству событий.

 

Примеры случайных векторов.

 

Пример 1. Координаты точки попадания относительно центра мишени (X, Y);

 

Пример 2. При проверке микросхемы – параметры задержки сигналов и их уровней по n различным выходам ;

 

Определение 6.2

Функцией распределения n-мерного случайного вектора X (функцией совместного распределения случайных величин - NB) называется неслучайная функция n действительных переменных в n-мерном евклидовом пространстве , определяемая как вероятность совместного выполнения n неравенств:

.

 

В частности для двухмерного случайного вектора (X, Y) имеем по определению:

F(x, y) = P {X<x, Y<y}.

В дальнейшем для компактности изображения будем оперировать только двумерными случайными величинами. Все полученные результаты могут быть распространены на любую размерность случайного вектора.

 

Свойства двумерной функции распределения F(x,y) случайного вектора (X,Y):

1) F(x, y) – неубывающая функция от x и y;

2) 0 ≤ F(x, y) ≤ 1;

3) F(-∞, y) = 0; F(x, -∞) = 0;

4) F(+∞, y) = F(y); F(x, +∞) = F(x), т. е. другая переменная может принимать любое значение от -∞ до +∞.

Это утверждение 4 устанавливает естественную связь между двумерной функцией распределения случайного вектора (X,Y) и функциями F(x) и F(y), которые называют одномерными (говорят также, частными или маргинальными) функциями распределения случайных величин X и Y.

5) F-(∞, ∞) = 1;

6) F(x, y) – непрерывна слева по x и y.

 

Вероятность попадания случайной точки на плоскость (X, Y) в прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат определяется как

(*)

(Близко к идее формулы включения – исключения)

 

Эта область А дважды вычитается в F(x1, y2) и F(x2, y1).

 

 

Определение 6.3

Вектор (X, Y) называется дискретным случайным вектором, если множество его возможных значений не более, чем счетное ( может быть пронумеровано натуральными числами 1, 2, 3,…).

Перечень возможных значений пар (xi, yj) и соответствующей им вероятности определяет закон распределения двумерной СВ (X, Y).

F(x,y)=

Такое перечисление удобно представить в виде таблицы (табл. 1)

 


 

 

Таблица 1

Y X y1 y2 ym P{X=xi}=pi
x1 p11 p12 p1m  
x2 p21 p22 p2m  
 
xn pn1 pn2 pnm  
..  
                             
P{Y=yj}=Pj          


Сумма всех удовлетворяет условию

 

Одномерные законы распределения были получены из двухмерных

Сумма по строке:

Сумма по столбцу:

 

Определение 6.4.

Условным законом распределения X при условии, что Y – приняло определенное значение Y=yj, называют совокупность xi и соответствующих им условных вероятностей:

.

 

Определение 6.5

Вектор (X, Y) называется непрерывным случайным вектором, если F(x, y) непрерывна на R2 и существует непрерывная неотрицательная функция f(x, y), называемая плотностью распределения вероятностей случайного вектора (X, Y) такая, что

.

Функцию называют также совместной (двумерной) плотностью распределения случайных величин X и Y.

 

Свойства плотности распределения случайного вектора (X,Y).

Нетрудно доказать следующие свойства двумерной плотности распределения:

1) ;

2) - условие нормирования;

3) в точках непрерывности f(x,y);

4) ; - плотности распределения по отдельным компонентам (смотри 4-е свойство двумерной функции распределенияF(x,y)).

Вероятность попадания случайной точки в область D:

.

В частном случае, если D – прямоугольник, то смотри формулу (*)

.

 

Определение 6.6.

Условной плотностью распределения вероятностей случайной компоненты X непрерывного случайного вектора (X, Y) при условии, что компонента Y приняла определенное значение y, причём f(y)≠0, называется неотрицательная действительная функция

формула умножения плотностей:

.

 

Определение 6.7

Случайные величины называют независимыми в совокупности, если для любых

В соответствии с определением функции совместного распределения случайных величин в их терминах для независимых случайных величин имеем:

.

 

Следствие.

Для независимых случайных величин:

.

В частном случае :

.

Для дискретных СВ при их независимости :

.

 







Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.236.97.49 (0.006 с.)