Поняття про недостовірні та нечіткі знання

Неповні та недостовірні знання. В розд. 1 та 2 розглядалися проблеми, пов’язані з використанням знань в ЕС та СПЗ. Розглянемо інші аспекти цієї проблеми.

Неповні знання. Ця категорія знань свідчить про те, що для доведення або спростування певного твердження може не вистачати необхідної інформації. У ба­гатьох системах логічного виведення прийнято постулат замкненості світу [21], що означає, що на запит про істинність деякого твердження відповіддю буде “ так ”тоді і тільки тоді, коли його можна довести; якщо ж довес­ти це твердження неможливо, то відповіддю стане “ ні ”. Водночас “ немож­ливо довести через брак інформації ”(тобто неповноту знань)і “ доведено, що ні ” (тобто підтверджена неможливість використання знань через їх неповноту або хибність)— це зовсім не одне й те саме. Тому бажано, щоб в ЕС, якій доводиться мати справу з такими невизначеностями, формувався запит до користувача про факти, яких не вистачає.

Недостовірність знань. На результат вико­нання деякого правила в продукційній СПЗ можуть впливати як випадкові чинники (об’єктивна невизна­ченість), так і такі, які залежать від невпевненості експерта в якомусь факті чи правилі виведення (суб’єктивна невизначеність).

Таким чином, ненадійність знань і недостовірність наявних фактів можуть значною мірою вплинути на результати логічного виведення, які формуються інтелектуалізованою системою, і цей фактор обов’язково по­винен враховуватися в процесі логічних побудов. Якщо ж просто відкидати факти і правила виведення, які викликають сумнів, то доведеться відмовитися від цінної інформації, яка була неточно подана або неправильно інтерпретована системою. Часто буває так, що експерт не зовсім упевнений в тому чи іншому факті, але, незважаючи на це, інформація залишається цін­ною і повинна бути включена в базу знань. Тому необхідно розви­вати процедури, які дають змогу здійснювати логічні побудови при недо­стовірних даних, використовуючи ці процедури в ЕС.

Нечіткість знань. На практиці часто доводиться мати справу з неточно визначени­ми або нечітко сформульованими поняттями ― лінгвістичними невизначеностями, такими, як “ багато ”, “ мало ”,“ сильно ”, “ слабо ”тощо.

Враховуючи викладене, наведемо деякі означення.

Означення 3.1. Висловлювання називається неточним, якщо його істин­ність або хибність не можуть бути встановлені однозначно, тобто тверджен­ня не є ані абсолютно достовірним, ані абсолютно хибним [42],

Означення 3.2. Неточним виведенням називається логічне виведення в умовах неточності (недостовірності) знань.

Модальне твердження. Неточне виведення традиційно розглядається як самостійний напрям, хоча неточне твердження можна було б інтерпретувати як частковий випадок модального твердження. Суть останнього полягає в тому, що воно оперує твердженнями, які дають оцінку іншим твердженням, або, інакше кажучи, є опосередкованими через інші твердження.

Означення 3.3. Модальними логіками є логічні системи, які оперують модальними твердженнями.

Як приклад наведемо такі модальні твердження, які можна занести в БЗ експертної системи: “ПР може захопити неправильно зорієнтовану деталь” (у таких випадках говорять про логіку можливого, або алетичну логіку) або “Система інформаційного забезпечення електроробокара визначає, що останній пройшов контрольну (реперну) точку відліку його місцерозташування в просторі” (це приклад так званих епістемічних логік).

Неточне виведення слід відрізняти від роботи з нечіткими знаннями, хоча останні також формально підпадають під сформульоване вище визна­чення.

3.4. Нечітке логічне виведення

Узагальнена постановка задачі нечіткого виведення. Механізм нечітких виведень, який використовується в різного роду експертних і керуючих системах, формується спеціалістами предметної галузі у вигляді сукупності нечітких предикатних правил виду:

П1: ЯКЩО є ТО є П2: ЯКЩО є ТО є ... П n: ЯКЩО є ТО є

(3.9)

де вхідна змінна (ім’я відомих значень даних); змінна виходу (ім’я значення даних, яке буде обчислене); і функції належності, визначені відповідно на і

Отже, знання експерта відображує нечітке причинне відношення передумови і висновку, тому його називають нечітким відношенням і визначають як де «» ― нечітка імплікація.

Відношення можна розглядати як нечітку підмножину прямого добутку та повної множини передумов і виведень Тоді процес отримання нечіткого результату виведення із застосуванням цього спостереження та знання можна подати у вигляді композиційного правила нечіткий «modus ponens»:

(3.10)

де «●» ― операція згортання (композиції).

Операції композиції та імплікації в алгебрі нечітких множин можна реалізувати по-різному (з різними результатами), проте у будь-якому разі загальне логічне виведення здійснюється за такі чотири етапи [56; 76]:

1. Введення нечіткості (фаззіфікация) ― для визначення ступеня істинності кожної передумови кожного правила застосування функцій належності, визначених на вхідних змінних, до їх фактичних значень.

2. Логічне виведення ― застосування обчисленого значення істинності для передумов кожного правила до виведень кожного правила. Це приводить до однієї нечіткої множини, яка буде призначена кожною змінною виведення для кожного правила. Як правила логічного виведення зазвичай використовуються тільки операції (МІНІМУМ) або (ДОБУТОК). У логічному виведенні функція належності виведення «відтинається» за висотою, відповідною обчисленому ступеню істинності передумови правила (так звана нечітка логіка «І»). В логічному виведенні функція належності виведення масштабується за допомогою обчисленого ступеня істинності передумови правила.

3. Композиція ― об’єднання разом усіх нечітких підмножин, призначених до кожної змінної виведення (в усіх правилах), для формування однієї нечіткої підмножини для всіх змінних виведення. При такому об’єднуванні зазвичай використовуються операції (МАКСИМУМ) або (СУМА). При композиції комбіноване виведення нечіткої підмножини конструюється як покроковий максимум за всіма нечіткими підмножинами (так звана нечітка логіка «АБО»). При композиції комбіноване виведення нечіткої підмножини формується як покрокова сума за всіма нечіткими підмножинами, призначеними змінною виведення правилами логічного виведення.

Властивості max-min- композиції. Операція max-min -композиції асоціативна, тобто дистрибутивна відносно об’єднання, але недистрибутивна відносно перетину:

(3.11)

Крім того, для max-min -композиції виконується така важлива властивість:

ЯКЩО ТО

(3.12)

Властивості max-* - композиції. Для max-min -композиції відношень і у виразі операцію «» можна замінити будь-якою іншою, для якої виконуються ті ж самі обмеження (наприклад, асоціативність, монотонність), що й для «». Тоді маємо:

(3.13)

Зокрема, операція «» може бути замінена алгебраїчним добутком, і тоді кажуть про max-prod - композицію.

4. Зведення до чіткості (дефаззіфікація)― перетворення (при необхідності) нечіткого набору виведень до чіткої величини (числа). Існує багато методів зведення до чіткості, деякі з алгоритмів яких розглянуто далі. Але спочатку розглянемо приклад деякої системи, яка подається нечіткими правилами.

 

Приклад 3.4. Нехай деяка система задається нечіткими правилами вигляду (3.9):

П1: ЯКЩО є ТО є П2: ЯКЩО є ТО є П3: ЯКЩО є ТО є

(3.14)

де імена вхідних змінних; ім’я змінної виведення; задані функції належності (наприклад, трикутної форми, див. розд. 2.6, рис. 2.18, д).

Процедура отримання логічного виведення ілюструється рис. 3.4. Припускається, що задано конкретні (чіткі) значення вхідних змінних:

На першому етапі (фаззіфікація) на основі значень і, виходячи з функцій належності визначаються ступені істинності для передумов кожного з трьох наведених правил (3.14).

На другому етапі (логічне виведення) відбувається «відтинання» функцій належності виведень правил (3.14) на рівнях

На третьому етапі (композиція) розглядаються функції належності, зрізані на попередньому етапі, і виконується їх об’єднання з використанням операції в результаті чого одержуємо комбіновану нечітку підмножину, яка подається функцією належності і відповідає логічному виведенню для вихідної змінної

На четвертому етапі (дефаззіфікація) визначається, за необхідності, чітке значення вихідної змінної, що може реалізовуватися із застосуванням, наприклад, центроїдного методу: чітке значеннявихідної змінної визначається як центр ваги для кривої

(3.15)

 

Рис. 3.4. Ілюстрація процедури логічного виведення

 

Якщо проінтерпретувати наведені в прикладі 3.4 результати прикладом 3.2 з визначенням з виразу (3.15) чіткого значення для нормального утримання об’єкта в захватному пристрої, то це значення лежить у площині функції належності (рис. 3.4).

Модифіковані алгоритми нечіткого виведення. Для розгляду найбільш уживаних модифікацій алгоритмів нечіткого виведення спростимо задачу, уважаючи, що базу знань утворюють тільки два нечітких правила виду:

П1: ЯКЩО є і є ТО є П2: ЯКЩО є і є ТО є

(3.16)

де і імена вхідних змінних; ім’я змінної виведення; A ₁, A ₂, B ₁, B ₂, C ₁, C ₂ — деякі задані функції належності.

При цьому чітке значення необхідно визначити на основі наведеної інформації і чітких знань і

Алгоритм Mamdani. Цей алгоритм відповідає вже розглянутому прикладу 3.4 і проілюстрований рис. 3.4. Математично для розглянутої ситуації його було подано чотирма етапами:

· введення нечіткості (фаззіфікація) з визначенням ступеня істинності для передумов кожного правила:

· логічне виведення із знаходженням рівнів «відтинання» для передумов кожного з правил (із застосуванням операції ):

де через «Ù» позначено операцію логічного мінімуму Далі визначаються «відтяті» функції належності:

· композиція з об’єднанням знайдених відтятих функцій із застосуванням операції (яку надалі позначатимемо як що дозволяє отримати підсумкову нечітку підмножину для змінної виходу з функцією належності:

· зведення до чіткості з визначенням чіткого значення наприклад, центроїдним методом.

Алгоритм Tsukamoto. Для цього алгоритму вихідні посилання такі самі, що й для алгоритму Mamdani, але тут припускається, що функції є монотонними. Тоді алгоритм Tsukamoto визначається такою послідовністю:

• введення нечіткості (як і в алгоритмі Mamdani);

· нечітке виведення відбувається в два етапи. Спочатку визначаються рівні «відтинання» (як в алгоритмі Mamdani), а потім, розв’язуючи рівняння

і

знаходяться чіткі значення і для кожного вихідного правила;

· зведення до чіткості значень змінної виведення (як зважене середнє і

(3.17)

або для загального випадку (дискретний варіант центроїдного методу):

(3.18)

 

Приклад 3.5. Нехай задано (рис. 3.5):

ступені істинності для передумов кожного правила (3.16)

відповідні рівні «відтинання»:

а також значення і які знайдено в результаті розв’язання рівнянь і (див. рис. 3.5).

 

Рис. 3.5. Ілюстрація до алгоритму Tsukamoto

Тоді в результаті дефаззіфікації чітке значення змінної виведення, обчислене за виразом (3.17), має вигляд:

 

Алгоритм Sugeno. Цей алгоритм містить введення нечіткості (як в алгоритмі Mamdani) та нечітке виведення із знаходженням:

• рівнів «відтинання»:

і

• індивідуальних виходів правил:

• чіткого значення змінної виходу:

що ілюструється рис. 3.6.

Рис. 3.6. Ілюстрація до спрощеного алгоритму Sugeno