В основу классификации кривых положена природа их уравнений.

Кривые подразделяются на алгебраические и трансцендентные в зависимости от того, являются ли их уравнения алгебраическими или трансцендентными в прямоугольной системе координат.

Плоская кривая линия называется алгебраической, если её уравнение f (xy)=0, причём функция f (xy) является степенным множителем относительно переменных х и у; в остальных случаях кривая называется трансцендентной.

Кривая линия, представленная в декартовых координатах уравнением п -й степени, называется алгебраической кривой п -го порядка.

Кривые линии, все точки которых принадлежат одной плоскости, называются плоскими, остальные пространственными.

 

Плоские Кривые линии

 

Кривые линии, все точки которых принадлежат одной плоскости, называются плоскими.

Порядок плоской алгебраической кривой линии определяется наибольшим числом точек её пересечения прямой линией. Любая прямая линия может пересекать алгебраическую кривую линию п -го порядка не более, чем в п точках.

Рассмотрим несколько примеров алгебраической кривой линии:

Рисунок 81. Парабола

Рисунок 82. Гипербола

Рисунок 83. Эллипс

 

1. Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках (рис.81). При этом парабола может быть определена как:

-множество точек М(A,B,C,...) плоскости, расстояние которых до определенной точки F этой плоскости (фокуса параболы) равно расстоянию до определенной прямой DD₁ - директрисы параболы;

-линия пересечения прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через вершину конуса и параллельная какой либо касательной плоскости этого конуса;

-в прямоугольной системе координат 0ху с началом в вершине параболы и осью 0х направленной по оси параболы уравнение параболы имеет так называемый канонический вид

y²=2px,

где р (фокальный параметр) - расстояние от фокуса до директрисы.

2. Гипербола:

- множество точек М(A,B,C,...) плоскости, (рис.82) разность (по абсолютной величине) расстояний которых до двух определенных точек F и F₁ этой плоскости (фокусов гиперболы) величина постоянная:

FM - F₁M=2а<2с

Середина 0 отрезка FF₁ (фокусного расстояния) называется центром гиперболы;

- линия пересечения прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через вершину конуса и пересекающая обе его полости;

- в прямоугольной системе координат 0ху с началом в центре гиперболы, на оси 0х которой лежат фокусы гиперболы уравнение гиперболы имеет так называемый канонический вид

х²/а² - у²/b²=1, b²=с² - а²,

где а и b длины полуосей гиперболы.

3. Эллипс:

- множество точек М(xy) плоскости (рис.83), сумма расстояний МF₁ и МF₂ которых до двух определенных точек F₁ и F₂ (фокусов эллипса) постоянна

МF₁+МF₂=2а.

Середина 0 отрезка F₁F₂ (фокусного расстояния) называется центром эллипса;

- линия пересечения прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через вершину конуса и пересекающей все прямолинейные образующие одной полости этого конуса;

- в прямоугольной системе координат 0ху с началом в центре эллипса, на оси 0х которой лежат фокусы эллипса уравнение эллипса имеет следующий вид:

х²/а²+у²/b²=1,

где а и b - длины большой и малой полуосей эллипса. При а=b фокусы F₁ и F₂ совпадают и указанное уравнение определяет окружность, которая рассматривается как частный случай эллипса.

Все, рассмотренные выше, плоские кривые линии можно получить как линии пересечения поверхности прямого кругового конуса с плоскостями, различно расположенными по отношению к оси конуса. Поэтому эти кривые называют кривыми конических сечений.