Прямые плоскости, перпендикулярные соответствующим линиям уровня являются линиями наибольшего наклона.

Линия наибольшего наклона к горизонтальной плоскости проекций называется линией ската. Такое название объясняется тем, что эта линия является траекторией, по которой шарик скатывается с данной плоскости. По отношению к плоскостям П₂ и П₃ целесообразнее употреблять название линия наибольшего наклона.

Линия ската и её горизонтальная проекция образуют линейный угол j, которым измеряется двугранный угол, составленный данной плоскостью и горизонтальной плоскостью проекций (рис.58). Горизонтальная проекция линии ската плоскости общего положения перпендикулярна горизонтальной проекции горизонталь этой плоскости. Фронтальная и профильная проекции ската строятся по её принадлежности плоскости.

 

а) модель	б) эпюр
Рисунок 58. Линия наибольшего ската

 

Прямая, параллельная плоскости
а) модель	б) эпюр
Рисунок 59. Прямая параллельная плоскости

 

При решении вопроса о параллельности прямой линии и плоскости необходимо опираться на известное положение стереометрии: прямая параллельна плоскости, если она параллельна одной из прямых, лежащих в этой плоскости и не принадлежит этой плоскости.

Задача. Дано: плоскость общего положения ABC и прямая общего положения а.

Требуется оценить их взаимное положение (рис.59).

Для этого через прямую а проведем вспомогательную секущую плоскость g - в данном случае горизонтально проецирующая плоскость. Найдем линию пересечения плоскостей g и АВС - прямую п (DF).Проекция прямой п на горизонтальную плоскость проекций совпадает с проекцией а₁ и со следом плоскости g. Проекция прямой п₂ параллельна а₂, п₃ параллельна а₃, следовательно, прямая а параллельна плоскости AВС.

 

Прямая пересекает плоскость

Нахождение точки пересечения прямой линии и плоскости – одна из основных задач начертательной геометрии.

Задача. Дано: плоскость AВС и прямая а.

Требуется найти точку пересечения прямой с плоскостью и определить видимость прямой по отношению к плоскости.

Алгоритм решения задачи (рис.60):

1. Через горизонтальную проекцию прямой а₁ проведем вспомогательную горизонтально проецирующую плоскость g (таким образом а Î g).

 

а) модель	б) эпюр
Рисунок 60. Нахождение точки пересечения прямой и плоскости

 

2. Находим линию пересечения вспомогательной плоскости с заданной. Горизонтальный след плоскости g₁ пересекает проекцию плоскости A₁В₁С₁ в точках D₁ и F₁, которые определяют положение горизонтальной проекции п₁ - линии пересечения плоскостей g и AВС. Для нахождения фронтальной и профильной проекции п спроецируем точки D и F на фронтальную и профильную плоскости проекций.

3. Определяем точку пересечения прямых а и п. На фронтальной и профильной проекциях линия пересечения плоскостей п пересекает проекции а в точке К, которая и является проекцией точки пересечения прямой а с плоскостью AВС, по линии связи находим горизонтальную проекцию К₁.

4. Методом конкурирующих точек определяем видимость прямой а по отношению к плоскости AВС.

5.

Прямая, перпендикулярная плоскости

Большое значение для задач начертательной геометрии имеет частный случай пересечения прямой и плоскости, когда прямая перпендикулярна плоскости.

Докажем следующую теорему о перпендикуляре к плоскости: Если прямая перпендикулярна плоскости, то горизонтальная проекция этой прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция – фронтальной проекции фронтали плоскости.

Пусть прямая n, перпендикулярная плоскости, пересекает плоскость BCD в точке N, тогда по условию n перпендикулярна любой прямой плоскости. Проведем в плоскости BCD горизонталь h, а на основании теоремы о проецировании прямого угла можно утверждать, что на горизонтальную плоскость проекций они проецируются под прямым углом, т.е. n₁^h₁. Аналогично для фронтали – f^n Þ f₂^ n₂.

Справедлива и обратная теорема: Если проекции прямой перпендикулярны одноименным проекциям соответствующих главных линий плоскости (горизонтали и фронтали), то такая прямая перпендикулярна плоскости.

Доказательство следует из теоремы о проецировании прямого угла.

Исходя из рассмотренных теорем, можно решить задачу о построении перпендикуляра к плоскости из точки А (рис.61).

Задача. Дано: плоскость ВСD и точка А.

Требуетсяпостроить прямую линию n проходящую через точку А и перпендикулярную плоскости ВСD.

В плоскости ВСD построим фронталь f и горизонталь h. В горизонтальной плоскости проекций проведем через точку А₁ прямую n₁ перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали h₁, а на фронтальной плоскости проекций через точку А₂ прямую n₂ перпендикулярно фронтальной проекции фронтали f₂, согласно, теореме о перпендикуляре к плоскости, полученная прямая n будет перпендикулярна плоскости ВСD.

 

а) модель	б) эпюр
Рисунок 61. Прямая, перпендикулярная плоскости

 

 

Взаимное расположение точки и плоскости

Возможны два варианта взаимного расположения точки и плоскости: либо точка принадлежит плоскости, либо нет.

Если точка принадлежит плоскости, то из трех проекций, определяющих положение точки в пространстве, произвольно задать можно только одну.

Рассмотрим пример (рис.62). Построение проекции точки А принадлежащей плоскости общего положения заданной двумя параллельными прямыми a(ab).

Задача. Дано: плоскость a (а, b)и фронтальная проекция точки А.

Требуетсяпостроить горизонтальную проекцию точки А, если известно, что она лежит в плоскости a (а, b).

а) модель	б) эпюр
Рисунок 62. Точка, принадлежащая плоскости

Через точку А ₂ проведем проекцию прямой m₂, пересекающую проекции прямых a ₂ и b ₂ в точках С₂ и В₂ (С Î a, B Î aÞ mÎ a). Построив проекции точек С ₁ и В ₁, определяющие положение m₁, находим горизонтальную проекцию точки А (А ₁Î m₁, mÎ aÞ А Î a).

 

Взаимное расположение плоскостей

Две плоскости в пространстве могут быть либо параллельны (в частном случае совпадать друг с другом), либо пересекаться. Взаимно перпендикулярные плоскости представляют собой частный случай пересекающихся плоскостей.

Параллельные плоскости

Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Это определение хорошо иллюстрируется задачей, через точку В провести плоскость параллельную плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми (a, b) (рис.63).

Задача. Дано: плоскость общего положения, заданную двумя пересекающимися прямыми (a, b) и точка В.

Требуется через точку В провести плоскость, параллельную плоскости (a, b) и задать её двумя пересекающимися прямыми c и d.

Согласно определения, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны между собой.

Для того, чтобы провести на эпюре параллельные прямые необходимо воспользоваться свойством параллельного проецирования - проекции параллельных прямых - параллельны между собой.

d//a, с//b Þ d₁a₁, с₁//b₁; d₂a₂, с₂//b₂; d₃a₃, с₃//b₃.

а) модель	б) эпюр
Рисунок 63. Параллельные плоскости

 

 

пересекающиеся плоскости

Линией пересечения двух плоскостей является прямая, для построения которой достаточно определить две её точки, общие обеим плоскостям, либо одну точку и направление линии пересечения плоскостей.

Рассмотрим построение линии пересечения двух плоскостей, когда одна из них проецирующая (рис.64).

Задача. Дано: плоскость общего положения, заданная треугольником АВС, а вторая плоскость - горизонтально проецирующая a.

Требуется построить линию пересечения заданных плоскостей.

Решение задачи заключается в нахождении двух точек общих для данных плоскостей, через которые можно провести прямую линию. Плоскость, заданная треугольником АВС можно представить, как прямые линии (АВ), (АС), (ВС). Точка пересечения прямой (АВ) с плоскостью a - точка D, прямой (AС) -F. Отрезок [DF] определяет линию пересечения плоскостей. Так как a - горизонтально проецирующая плоскость, то проекция D₁F₁ совпадает со следом плоскости a_П1, таким образом остается только построить недостающие проекции [DF] на П₂ и П₃.

а) модель	б) эпюр
Рисунок 64. Пересечение плоскости общего положения с горизонтально проецирующей плоскостью

Рассмотрим общий случай пересечения плоскостей, когда плоскости занимают общее положение в пространстве.

Задача. Дано: Две плоскости общего положения a(m,n) и b (ABC) (рис.65).

Требуется построить линию пересечения плоскостей a и b.

а) модель	б) эпюр
Рисунок 65. Пересечение плоскостей общего положения

Рассмотрим последовательность построения линии пересечения плоскостей a(m//n) и b(АВС). По аналогии с предыдущей задачей для нахождения линии пересечения данных плоскостей проведем вспомогательные секущие плоскости g и d. Найдем линии пересечения этих плоскостей с заданными плоскостями. Плоскость g пересекает плоскость a по прямой (12), а плоскость b - по прямой (34). Точкапересечения этих прямых- К,которая одновременно принадлежит трем плоскостям a, b и g,т.е. искомой линии пересечения плоскостей a и b. Плоскость d пересекает плоскости a и b по прямым (56) и (7C), точка их пересечения М расположена одновременно в трех плоскостях a, b, d и принадлежит прямой линии пересечения плоскостей a и b. Таким образом, прямая (КМ) является линией пересечения плоскостей a и b.

Некоторого упрощения при построении линии пересечения плоскостей можно достичь, если вспомогательные секущие плоскости проводить через прямые, задающие плоскость. В этом случае точки, определяющие положение линии пересечения плоскостей, находятся как точки пересечения прямой и плоскости.

 

взаимно перпендикулярные плоскости

Частный случаем пересечения плоскостей являются взаимно перпендикулярные плоскости.

Из стереометрии известно, что две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. Через точку А можно провести множество плоскостей, перпендикулярных данной плоскости a(h,f). Эти плоскости образуют в пространстве пучок плоскостей, осью которого является перпендикуляр опущенный из точки А на плоскость a. Для того, чтобы через точку А провести плоскость, перпендикулярную плоскости a(h, f),необходимо из точки А провести прямую n, перпендикулярную плоскости a(h, f), (горизонтальная проекция n₁ перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали h₁, фронтальная проекция n₂ перпендикулярна фронтальной проекции фронтали f₂). Любая плоскость, проходящая через прямую n будет перпендикулярна плоскости a(h, f), поэтому для задания плоскости через точку А проводим произвольную прямую m. Плоскость заданная двумя пересекающимися прямыми (m, n),будет перпендикулярна плоскости a(h, f) (рис.66).

 

а) модель	б) эпюр
Рисунок 66. Взаимно перпендикулярные плоскости

 

Многогранники

Многогранник* в трехмерном пространстве - совокупность конечного числа плоских многоугольников такая, что

1) которых каждая сторона одного является одновременно стороной другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне);

2) от любого из многоугольников, составляющих многогранник, можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого в свою очередь - к смежному с ним, и т.д.

Эти многоугольники называются гранями, их стороны ребрами, а их вершины - вершинами многогранника.

Многогранник**, полиэдр, - геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками - гранями. Стороны граней называются ребрами, а концы ребер - вершинами. По числу граней различают 4-гранники, 5-гранники и т.д. Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. Многогранник называется правильным, если его грани правильные многоугольники (т.е. такие, у которых все стороны и углы равны) и все многогранные углы при вершинах равны. Существует пять видов правильных многогранников: тетраэдр, куб (гексаэдр), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

 

Виды Многогранников

Кратко охарактеризуем геометрические свойства некоторых многогранников:

1. Пирамида - это многогранник, одна грань которого многоугольник, а остальные грани - треугольники с общей вершиной. Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник и высота пирамиды проходит через центр многоугольника. Пирамида называется усеченной, если вершина её отсекается плоскостью (рис.67).

а) модель	б) эпюр
Рисунок 67. Пирамида

3. Призма - многогранник, две грани которого (основания призмы) представляют собой равные многоугольники с взаимно параллельными сторонами, а все другие грани параллелограммы. Призма называется прямой, если её ребра перпендикулярны плоскости основания. Если основанием призмы является прямоугольник, призму называют параллелепипедом (рис. 68).

 

а) модель	б) эпюр
Рисунок 68. Призма

 

3. Призматоид - многогранник, ограниченный двумя многоугольниками, расположенными в параллельных плоскостях (они являются его основаниями); его боковые грани представляют собой треугольники или трапеции, вершины которых являются и вершинами многоугольников оснований (рис.69).

а) модель	б) эпюр
Рисунок 69. Призматоид

 

4. Тела Платона. Многогранник, все грани которого представляют собой правильные и равные многоугольники, называют правильными. Углы при вершинах такого многогранника равны между собой.

Существует пять типов правильных многогранников. Эти многогранники и их свойства были описаны более двух тысяч лет назад древнегреческим философом Платоном, чем и объясняется их общее название.

Каждому правильному многограннику соответствует другой правильный многогранник с числом граней, равным числу вершин данного многогранника. Число ребер у обоих многогранников одинаково.

Тетраэдр - правильный четырехгранник (рис.70). Он ограничен четырьмя равносторонними треугольниками (это - правильная треугольная пирамида).

а) модель	б) эпюр
Рисунок 70. Тетраэдр

Гексаэдр - правильный шестигранник (рис. 71). Это куб состоящий из шести равных квадратов.

а) модель	б) эпюр
Рисунок 71. Гексаэдр

Октаэдр - правильный восьмигранник (рис.72). Он состоит из восьми равносторонних и равных между собой треугольников, соединенных по четыре у каждой вершины.

 

 

а) модель	б) эпюр
Рисунок 72. Октаэдр

Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, состоит из двенадцати правильных и равных пятиугольников, соединенных по три около каждой вершины (рис. 73).

а) модель	б) эпюр
Рисунок 73. Додекаэдр

Икосаэдр - состоит из 20 равносторонних и равных треугольников, соединенных по пять около каждой вершины (рис.74).

 

а) модель	б) эпюр
Рисунок 74. Икосаэдр

5. Звездчатые формы и соединения тел Платона. Кроме правильных выпуклых многогранников существуют и правильные выпукло-вогнутые многогранники. Их называют звездчатыми (самопересекающимися). Рассматривая пересечения продолжения граней Платоновых тел, мы будем получать звездчатые многогранники.

Звездчатый октаэдр - восемь пересекающихся плоскостей граней октаэдра отделяют от пространства новые "куски", внешние по отношению к октаэдру (рис. 75). Это малые тетраэдры, основания которых совпадают с гранями октаэдра. Его можно рассматривать как соединение двух пересекающихся тетраэдров, центры которых совпадают с центром исходного октаэдра. Все вершины звездчатого октаэдра совпадают с вершинами некоторого куба, а ребра его являются диагоналями граней (квадратов) этого куба. Дальнейшее продление граней октаэдра не приводит к созданию нового многогранника. Октаэдр имеет только одну звездчатую форму. Такой звездчатый многогранник в 1619 году описал Кеплер (1571-1630) и назвал его stella octangula - восьмиугольная звезда.

 

Рисунок 75. Звездчатый октаэдр	Рисунок 76. Малый звездчатый додекаэдр

Малый звездчатый додекаэдр - (рис.76) звездчатый додекаэдр первого продолжения. Он образован продолжением граней выпуклого додекаэдра до их первого пересечения. Каждая грань выпуклого додекаэдра при продолжении образует правильный звездчатый пятиугольник. Пересекающиеся плоскости граней додекаэдра отделяют от пространства новые "куски", внешние по отношению к додекаэдру. Это двенадцать правильных пятиугольных пирамид, основания которых совпадают с гранями додекаэдра. При дальнейшем продолжении граней до нового пересечения образуется средний звездчатый додекаэдр - звездчатый додекаэдр второго продолжения. Последней же звездчатой формой правильного додекаэдра является звездчатый додекаэдр третьего продолжения - большой звездчатый додекаэдр. Он образован продолжением граней звездчатого додекаэдра второго продолжения до их нового пересечения.

пересечение плоскости с многогранником

Построение сечения многогранника требует многократного решения задачи о нахождении точки пересечении прямой с плоскостью. Точки, в которых ребра многогранника пересекаются с заданной плоскостью, будут вершинами искомого сечения.

Тот же результат можно получить, сведя задачу к построению линий пересечения плоскости с гранями тела.

Задача. Дана призма и плоскость общего положения заданная двумя пересекающимися прямыми а и b (рис.77). Необходимо построить сечение призмы данной плоскостью.

а) модель
б) эпюр
Рисунок 77. Пересечение плоскости общего положения с призмой

 

Решим поставленную задачу нахождением точек пересечения ребер призмы с плоскостью. Для чего, через горизонтальные проекции ребер проведем вспомогательные секущие плоскости α, β и γ. Построив линии пересечения вспомогательных плоскостей с заданной, находим на фронтальной проекции точки пересечения их с соответствующими ребрами призмы К ₂, М ₂ и N ₂ – вершины фронтальной проекции сечения призмы. По линиям связи находим горизонтальные проекции этих точек. Полученные точки соединяем прямыми линиями, с учетом видимости. При решении вопроса о видимости сторон построенного сечения следует иметь в виду достаточно очевидное правило: точка и линия, лежащие на поверхности многогранника, видимы только в том случае, если они расположены на видимой грани.

 

пересечение Прямой линии с многогранником

 

Для определения точек пересечения прямой линии с многогранником, задача сводится к нахождению точек пересечения прямой с плоскостями граней (рис.78).

Алгоритм решения задачи:

1. Через заданную прямую m проводим вспомогательную секущую плоскость a (mÎ a).

2. Строим сечение многогранника со вспомогательной секущей плоскостью a.

3. Определить искомые точки К,М – пересечения полученного сечения с прямой m.

4. Определить видимость прямой по отношению к пирамиде.

 

а) модель	б) эпюр
Рисунок 78. Пересечение прямой линии с пирамидой

 

взаимное пересечение многогранников

 

Построение линии взаимного пересечения многогранных поверхностей можно производить двумя способами, комбинируя их между собой или выбирая из них тот, который в зависимости от условий задания дает более простые построения. Эти способы следующие:

1. Определяют точки, в которых ребра одной из многогранных поверхностей пересекают грани другой и ребра второй пересекают грани первой (задача на пересечение прямой с плоскостью). Через найденные точки в определенной последовательности проводят ломаную линию, представляющую собой линию пересечения данных многогранников. При этом можно соединять прямыми проекции лишь тех точек, полученных в процессе построения, которые лежат в одной и той же грани.

2. Определяют отрезки прямых, по которым грани одной поверхности пересекают грани другой (задача на пересечение двух плоскостей между собой); эти отрезки являются звеньями ломаной линии, получаемой при пересечении многогранных поверхностей.

Если проекция ребра одной из поверхностей не пересекает проекции грани другой, хотя бы на одной из проекций, то данное ребро не пересекает этой грани. Однако пересечение проекций ребра и грани еще не означает, что ребро и грань пересекаются в пространстве.

 

а) модель	б) эпюр
Рисунок 79. Пересечение пирамиды с призмой

На примере (рис.79) показано пересечение поверхности треугольной призмы с треугольной пирамидой. Построение основано на нахождении точек пересечения ребер одного многогранника с гранями другого. На рисунке 79 б показано построение линии пересечения пирамиды АВСS и треугольной призмы DEFD*E*F*.

Для нахождения точек 1 и 2 в которых ребро пирамиды AS пересекает грани DD*EE* и DD*FF* призмы, через проекцию ребра A ₂ S ₂ проведена фронтально проецирующая плоскость a _П2, которая пересекает ребра призмы в трех точках, горизонтальные проекции этих точек пересечения плоскости a с ребрами призмы, образуют треугольник. Проекция ребра пирамиды A ₁ S ₁ пересекаетполученный треугольник в точках 1 ₁ и 2 ₁.

С помощью фронтально проецирующей плоскости β, находим точки 5 и 6 пересечения ребра пирамиды SC с гранями призмы DD*FF* и DD*EE*, а при помощи горизонтально проецирующей плоскости g находим точки 3 и 4 пересечения ребра призмы с гранями пирамиды. Соединив полученные точки, с учетом видимости, получим пространственную ломаную линию – линию пересечения данных многогранников.

Кривые линии

Кривая линия - это множество точек пространства, координаты которых являются функциями одной переменной. Термин «кривая» в разных разделах математики определяется по-разному.

В начертательной геометрии кривую рассматривают как траекторию, описанную движущей точкой, как проекцию другой кривой, как линию пересечения двух поверхностей, как множество точек, обладающих каким-либо общим для всех их свойством и т.д.

Например, (рис.80) циклоида – траектория движения точки окружности, катящейся без скольжения по прямой линии. Эта кривая состоит их ряда «арок», каждая из которых соответствует полному обороту окружности.

 

Рисунок 80. Циклоида

 

Каждая кривая включает в себя геометрические элементы, которые составляют её определитель, т.е. совокупность независимых условий, однозначно определяющих эту кривую.

Различны и способы задания кривых:

· аналитический – кривая задана математическим уравнением;

· графический – кривая задана визуально на носителе графической информации;

· табличный – кривая задана координатами последовательного ряда точек.

Уравнением кривой линии называется такое соотношение между переменными, которому удовлетворяют координаты точки, принадлежащей кривой.