Определение модели, моделирования, свойств интерполяции и экстраполяции. Классификация моделей по критерию подобия и соотношению точности/абстрактности.

Определение модели, моделирования, свойств интерполяции и экстраполяции. Классификация моделей по критерию подобия и соотношению точности/абстрактности.

Моделью реального объекта называют его представление в некоторой форме, отличной от реального воплощения. Для естественных материальных объектов модель вторична, т. е. появляется как следствие изучения и описания этого объекта.
Для объектов, создаваемых человеком или техникой модель первична, так как предшествует появлению самого объекта (например, модель самолета, модель триггера).

Моделирование есть процесс создания модели реального объекта и постановка экспериментов на этой модели для исследования и оптимизации характеристик объекта в соответствии с заданными ограничениями.

Процесс моделирования есть процесс перехода из реальной области в виртуальную (модельную) посредством формализации, далее происходит собственно моделирование и, наконец, интерпретация результатов как обратный переход из виртуальной области в реальную. Этот путь заменяет прямое натурное исследование реального объекта. Итак, в самом простом случае технология моделирования включает 3 этапа: формализацию, собственно моделирование и интерпретацию результатов. Если требуется уточнение, эти этапы повторяются в цикле.

Рассмотрим классификацию моделей, в основу которой положено различие моделей по критериям подобия модели и объекта, а также соотношение точности и абстрактности моделей.

Модели, находящиеся в начале спектра (см. рис. 1) называют физическими или натурными. Критерием подобия физического моделирования является общая природа взаимодействий в модели и в реальном объекте. При создании масштабированных моделей критерием подобия является математический критерий, представляющий собой безразмерную величину – соотношение определенных параметров процесса или системы. Сочетание в реальных объектах моделирования различных по своей природе процессов (например, физических и химических) затрудняет выбор общего критерия подобия и в пределе делает масштабирование невозможным. Аналоговыми являются модели, в которых свойство реального объекта представляется некоторым другим свойством аналогичного по поведению объекта. Критерием подобия является аналогия поведения или свойств. Примером аналоговой модели является любой график: величины длин отрезков, отложенных по координатным осям, отображают взаимосвязанное изменение определенных характеристик объекта. Аналоговыми моделями также являются различного рода схемы. Критерием подобия в математических моделях является подобность математических уравнений.

Примеры использования и сравнительный анализ моделей различных типов по степени соответствия объекту моделирования.

При моделировании любого объекта могут быть использованы разные модели или их совокупности из числа разновидностей. Представления объекта моделью в рамках одной разновидности могут различаться по сложности и детализации.

Примеры различных моделей элемента И-НЕ.

1) Физическая модель

 

Полная электрическая модель

 

2) Аналоговая модель

 

 

Электрическая макромодель

Такая модель не позволяет получить реальные временные и нагрузочные характеристики элемента, а описывает только его функцию – моделируется зависимым источником в схеме

 

3) Аналитические модели

А) синхронная модель в двухзначной логике: модельное время разбивается на такты фиксированной длительности и вычисление по модели осуществляется в моменты начала/окончания такта.

Б) Синхронная модель в трёхзначной логике

4) Имитационная модель

Если вход а или b равны логическому нулю, то выходу с присвоить логическую единицу, иначе – логический нуль.

Задача управления

Для решения задач управления на уровне схемотехнического и функционально-логического моделирования используют математические методы теории автоматического управления. Аппарат теории управления предполагает анализ систем на основании моделей управления, которые представляют собой совокупность дифференциальных уравнений связи между входными воздействиями и базисными переменными системы или ее элементов, которые называются звеньями системы.

Рассмотрим произвольное звено системы, описываемое входным воздействием x(t), выходной фазовой координатой v(t) и внешним возмущением f(t). В общем случае ДУ звена имеет нелинейный вид:

F(x, x'... x⁽ⁿ⁾, v,v'... v^(m))=j(f, f'... f^(l)).

В задачах анализа чаще использую линеаризованные модели звеньев. В основе линеаризации нелинейных уравнений лежит предположение о том, что в исследуемом процессе переменные x и v изменяются так, что их отклонения от установившихся значений остаются все время достаточно малыми. Линеаризованные модели являются упрощенными, так как описывают поведение звеньев в отсутствии помех и возмущений. Геометрически линеаризация является заменой реальной нелинейной характеристики системы или звена на линейную.

Линеаризованные модели управления имеют вид:

Решением данного уравнения для заданного x(t) является переходная характеристика звена.

Для упрощения операций преобразования моделей звеньев и систем используют передаточные функции. Передаточной функцией называется отношение изображения по Лапласу выходной величины системы (звена) к изображению по Лапласу входной величины при нулевых начальных условиях. Изображением по Лапласу функции f(t) является функция F(p):

где t – независимая переменная; p=d/dt.

При нулевых начальных условиях, т. е. при f(0)=0, переход от оригинала функции к ее изображению по Лапласу может быть осуществлен формальной заменой дифференцирования на символическое умножение на р, а символа интегрирования – на умножение на 1/р. Передаточная функция, полученная для линеаризованного ДУ имеет вид:

Переход от передаточной функции к ДУ звена осуществляется обратным преобразованием Лапласа.

 

 

Способы получения моделей управления. Примеры получения моделей управления для различных структурных примитивов, относящихся к одному типу элементарных звеньев систем.

Способы получения моделей управления:

1)Экспериментальный способ:

Шаг 1. Для воздействия на звено формируют идеальную ступень.

Шаг 2. Экспериментально снимается закон изменения выходного параметра звена, т.е. получается кривая переходного процесса.

Шаг 3. Подбирается аналитическое описание, т.е. функция для кривой переходного процесса.

Шаг 4. Подбирается ДУ, аналитическая форма решения которого совпадает с полученной в шаге 3 функцией.

2) Теоретический способ:

Решает задачи на основании известных теоретических описаний процессов функционирования звена.

 

Задача идентификации

Результатом решения задачи идентификации является имитационная или аналитическая модель структурного примитива. Как уже отмечалось, аналитические модели делятся на теоретические и экспериментальные. Теоретические модели получают на основе известных описаний процессов функционирования объекта. Экспериментальные – на основе изучения поведения объекта моделирования во внешней среде.

Для построения экспериментальных моделей используют:

- методы аппроксимация зависимостей;

- методы корреляционного и регрессионного анализа;

- методы планирования эксперимента.

Пусть экспериментальная статистика функционирования структурного примитива задана таблично. В этом случае значения функции базисной координаты известны только для дискретных значений входной переменной. Для того чтобы вычислять значение базисной координаты в любой произвольной точке, необходимо восстановить непрерывную функцию v=f(х). Такое приближение называют аппроксимацией.

Аппроксимация характеристик структурных примитивов применяется в следующих случаях:

- если аналитическое описание характеристики неизвестно и она задана набором экспериментальных данных;

- аналитическое описание v=f(х) сложное и затрудняет расчеты.

Постановка задачи аппроксимации имеет два варианта. В первом случае осуществляется поиск аппроксимирующей функции, наилучшим образом описывающей экспериментальную статистику, при условии обязательного прохождения графика аппроксимирующей функции через определенные заданные точки экспериментальной статистики (см. рис. 8-а). Эти точки называются узлами. Второй вариант постановки задачи аппроксимации не имеет ограничивающего условия обязательного прохождения функции через узлы (см. рис. 8-б).

Для решения первой задачи используется методы кусочно-линейной аппроксимации и аппроксимации сплайнами.

Кусочно-линейная аппроксимация получается соединением узлов отрезками прямых линий. Узлы располагаются так, чтобы обеспечить наименьшую ошибку между аппроксимирующей и точной функцией.

Чаще используют аппроксимацию сплайнами. В отличие от интерполяции полиномом, которым описывается вся область данных, при интерполяции сплайнами строится отдельный полином, описывающий интервал от узла x_i-1 до узла x_i (см. рис. 9).

Наиболее часто используют полиномы третьей степени – кубические сплайны. На каждом отрезке кубический сплайн является многочленом третьей степени:

.

В узлах сплайн принимает заданные значения , :

	(1)
	(2)

Условия (1) и (2) требуют, чтобы сплайны соприкасались в заданных точках. Количество условий таких условий равно . Во внутренних узлах , сплайн имеет непрерывную первую и вторую производные:

	(3)
	(4)

Условия (3) и (4) означают, что в местах соприкосновения сплайнов их первые и вторые производные должны быть равны. Таких условий . Для отыскания искомого сплайна требуется найти коэффициенты , , , многочленов , , т. е. неизвестных. Однако количество уравнений, записанных по условиям (1)–(4) равно . Чтобы система алгебраических уравнений имела решение, необходимо, чтобы число уравнений равнялось числу неизвестных. Следовательно, для разрешимости задачи нужны еще два дополнительных условия. Их обычно получают из естественного предположения о нулевой кривизне графика сплайна на концах:

, .

Полученный таким образом сплайн называют естественным. Если есть дополнительные сведения о поведении функции на концах интервала интерполяции, то можно записать другие краевые условия.

 

Ингибиторные сети Петри. Моделирование элементарного цикла обслуживания ингибиторной сетью Петри. Пример моделирования системы или процесса ингибиторной сетью Петри.

Особой разновидностью сетей Петри являются ингибиторные сети, которые в дополнение к обычным дугам (ветвям) графа сети содержат запрещающие, так называемые ингибиторные ветви. Такая ветвь запрещает активацию перехода при наличии достаточного количества меток во входных вершинах обычных дуг до тех пор, пока в ее входной вершине имеются метки. Во фрагменте сети Петри, приведенном на рис.22-а, ветвь а запрещает запуск перехода t₁ при наличии метки в позиции P₁. Пример реализации простейшего цикла обслуживания с использованием ингибиторной сети Петри представлен на рис.22-б. Здесь переход t₂ при наличии метки в позиции Р₂ будет «заперт» не смотря на наличии метки в вершине Р₁ до тех пор, пока метка не покинет Р₂ через переход t₃, что эквивалентно завершению очередного обслуживания.

Сеть Петри для моделирования магистрального канала передачи данных. Пусть к общему каналу связи подключены N абонентов и возможна связь любых абонентов друг с другом. Абонент-отправитель осуществляет попытку связи в случайный момент времени Т₁. Если канал занят передачей информации от другого абонента, это обнаруживается по наличию сигналов несущей частоты в канале связи. Абонент задерживает передачу на время t₁, являющееся реализацией равномерно распределенной в заданном диапазоне случайной величины t. Если в момент времени (Т₁+t₁) канал связи опять занят, то передача задерживается по тому же правилу. Если два абонента или более пытаются начать передачу одновременно, возможны конфликты. Одновременность описывается условием DТ<e, где DТ – промежуток времени между моментами начала передачи данных различными абонентами, e>0. При конфликте передача начинается, но передаются искаженные данные. Ликвидация конфликта заключается в том, что все абоненты, начавшие одновременно передачу данных, прекращают ее и пытаются начать работу через промежуток времени, индивидуальный для каждого абонента и являющийся функцией t.

В модельной реализации (см. рис. 23) источник (открытый переход t₂) имитирует поток заявок на передачу от всех абонентов. Если канал свободен и конфликта нет, заявка проходит через t₃, t₆, t₇, t₁₀, t₁₁ и выходит из системы обслуженной, причем в t₆ происходит задержка на время e, а в t₁₀ - на время (Т_п-e), где Т_п – время передачи пакета.

Если канал занят (заявка задержана в t₁₀), то попытка другого абонента начать передачу приводит к прохождению заявки по маршруту t₃, t₆, t₉, и далее в один из переходов t₁₂..t_n. Срабатывание перехода t₉, а не t₇, происходит потому, что предыдущая заявка, прошедшая через t₇ и еще не вышедшая из t₁₀, изъяла метку из позиции р₉. Тем самым переход t₇ оказался запрещенным, а t₉ разрешенным.

Переходы t₁₂...t_n моделируют задержку пакетов на время t_i. Через время t_i заявка переходит к р₃, т. е. предпринимается новая попытка передачи сообщения. Конфликты возникают, если новая заявка приходит в позицию р₃, когда предыдущая еще не покинула переход t₆. Поэтому метка не может пройти переход t₃, но может пройти через переход t₄ в позицию р₆. Теперь вышедшая из t₆ заявка сможет пройти через t₈ на переходы t₁₂...t_n, где обе заявки будут задержаны на случайные отрезки времени перед повторными попытками передачи. Чтобы метка из р₈ перешла в t₈, а не в t₉, ветви, ведущей в t₈, присваивается более высокий приоритет. Переход t₅ срабатывает в случае, если в конфликт вошло более двух заявок [3, 20-23].

 

Типы сетей Петри, используемые для моделирования ВС. Пример моделирования процесса параллельного обслуживания заявок с пакетированием сетью Петри.

Для моделирования средств вычислительной техники и процессов обработки информации используются разновидности сетей Петри, различающиеся способами разрешения конфликтов. В стохастических сетях Петри дополнительно вводятся случайные задержки или вероятности срабатывания активных переходов. В примере на рис. 21-а сработает либо переход t₁ (c вероятностью р₁), либо t₂ (c вероятностью 1 -р₁). В приоритетных сетях конфликтные ситуации разрешаются введением различных приоритетов для ветвей. Конфликт, показанный в примере на рис. 21-б, всегда будет разрешаться в пользу перехода t₁, так как он имеет приоритет, а переход t₂ сможет сработать только в том случае, если, при наличии меток в вершинах Р₂ и Р₃, метки в вершине Р₁ не окажется.

Сеть Петри для моделирования процесса
пакетирования заявок с переменным размером пакета и
параллельного обслуживания

Пусть три независимых потока заявок поступают во входную очередь СМО и пакетируются по 2 при наличии достаточного количества для обслуживания в процессоре параллельного обслуживания, в котором обслуживание очередного пакета подгружается к уже начатому, но единовременно могут обслуживаться не более 3-х пакетов. Количество заявок во входной очереди не должно превышать 10. Если ограничение нарушается, то пакетирование по 2 прекращается, заявки пакетируются по 10 и обслуживаются во втором процессоре. Второй процессор обслуживает пакеты последовательно. В системе реализованы отдельные счетчики обслуженных пакетов по 2 и пакетов по 10.

Сеть Петри, реализующая заданную СМО, имеет вид, представленный на рис. 103.

 

Вершина	Описание
P1	Наличие заявок во входной очереди (количество меток соответствует количеству заявок)
P2	Наличие пакета по 10 на обслуживании во втором процессоре
P3	Наличие пакетов по 2 на обслуживании в первом процессоре (количество меток соответствует количеству параллельно обслуживаемых пакетов)
P4	Наличие в выходной очереди (счетчике) обслуженных пакетов по 10 (количество меток соответствует количеству пакетов)
Р5	Наличие в выходной очереди (счетчике) обслуженных пакетов по 2 (количество меток соответствует количеству пакетов)

 

Переход	Описание
t1-t3	Поступление заявок входных потоков 1-3 во входную очередь (время срабатывания перехода соответствует времени поступления очередной заявки потока)
t4	Пакетирование заявок по 10 (время срабатывания перехода соответствует времени пакетирования)
t5	Завершение обслуживания пакета по 10 (время срабатывания соответствует времени обслуживания)
t6	Пакетирование заявок по 2 (время срабатывания перехода соответствует времени пакетирования)
t7	Завершение обслуживания пакета по 2 (время срабатывания соответствует времени обслуживания)

Определение модели, моделирования, свойств интерполяции и экстраполяции. Классификация моделей по критерию подобия и соотношению точности/абстрактности.

Моделью реального объекта называют его представление в некоторой форме, отличной от реального воплощения. Для естественных материальных объектов модель вторична, т. е. появляется как следствие изучения и описания этого объекта.
Для объектов, создаваемых человеком или техникой модель первична, так как предшествует появлению самого объекта (например, модель самолета, модель триггера).

Моделирование есть процесс создания модели реального объекта и постановка экспериментов на этой модели для исследования и оптимизации характеристик объекта в соответствии с заданными ограничениями.

Процесс моделирования есть процесс перехода из реальной области в виртуальную (модельную) посредством формализации, далее происходит собственно моделирование и, наконец, интерпретация результатов как обратный переход из виртуальной области в реальную. Этот путь заменяет прямое натурное исследование реального объекта. Итак, в самом простом случае технология моделирования включает 3 этапа: формализацию, собственно моделирование и интерпретацию результатов. Если требуется уточнение, эти этапы повторяются в цикле.

Рассмотрим классификацию моделей, в основу которой положено различие моделей по критериям подобия модели и объекта, а также соотношение точности и абстрактности моделей.

Модели, находящиеся в начале спектра (см. рис. 1) называют физическими или натурными. Критерием подобия физического моделирования является общая природа взаимодействий в модели и в реальном объекте. При создании масштабированных моделей критерием подобия является математический критерий, представляющий собой безразмерную величину – соотношение определенных параметров процесса или системы. Сочетание в реальных объектах моделирования различных по своей природе процессов (например, физических и химических) затрудняет выбор общего критерия подобия и в пределе делает масштабирование невозможным. Аналоговыми являются модели, в которых свойство реального объекта представляется некоторым другим свойством аналогичного по поведению объекта. Критерием подобия является аналогия поведения или свойств. Примером аналоговой модели является любой график: величины длин отрезков, отложенных по координатным осям, отображают взаимосвязанное изменение определенных характеристик объекта. Аналоговыми моделями также являются различного рода схемы. Критерием подобия в математических моделях является подобность математических уравнений.