Аналитические модели массового обслуживания.

Аналитические теоретические модели СМО представляют собой совокупность явных зависимостей параметров, образующих вектор фазовых переменных СМО V, от векторов внутренних Q и внешних X параметров:

Вектор Q составляют параметры ОА, вектор X – параметры входных потоков заявок. Аналитические модели СМО можно получить только в частных случаях со следующими ограничениями:

1. Входные потоки заявок должны обладать свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последействия – такие потоки называются простейшими. В подавляющем большинстве работ по теории МО рассматривается простейший поток, для которого вероятность поступления в промежуток времени t ровно k заявок задается формулой:

(9)

где l – интенсивность поступления заявок (параметр экспоненциального распределения), положительная постоянная величина, обратная МО времени поступления. На оси времени поток поступления заявок можно изобразить, как показано на рис. 25.

Свойство стационарности заключается в том, что вероятность поступления определенного числа заявок в интервале времени Dt зависит только от длительности этого интервала и не зависит от положения этого интервала на оси времени (см. рис. 26). Иначе говоря, вероятностные характеристики и интенсивность такого потока со временем не изменяются.

Ординарность означает невозможность одновременного поступления двух и более заявок на вход системы. Отсутствие последействия выражается в том, что вероятности разных непересекающихся интервалов не зависят друг от друга. Иногда это свойство формулируют следующим образом: распределение времени до ближайшего события не зависит от времени наблюдения, т. е. от того, сколько времени прошло после последнего события. Отсутствие последействия в потоке означает, что события, образующие поток появляются в последовательные моменты времени независимо друг от друга.

2. Интервалы времени между поступлениями заявок и времена обслуживания заявок в ОА СМО распределены по экспоненциальному закону, т. е. функция распределения вероятностей и функция плотности вероятностей для этих интервалов времени имеют вид:

3. Приоритетность обслуживания не рассматривается, используются дисциплины обслуживания типа FIFO.

Как уже отмечалось, вероятность поступления в промежуток времени t ровно k заявок для простейшего потока определяется формулой (9). Вероятность того, что в течение интервала времени t не поступит ни одной заявки (эквивалентно вероятности того, что следующая после последней заявки поступит в СМО по истечении времени t) составляет:

Вероятность, что за то же время поступит хотя бы одна заявка:

При построении и анализе непрерывно – стохастических моделей исследуются вероятности появления или не появления событий в течении элементарного интервала времени Δ t →0. Произведя замену t на Δ t, и, разлагая e^{- λ Δ t} в степенной ряд, получим, пренебрегая величинами высшего порядка малости:

Тогда, вероятность появления хотя бы одной заявки:

Учитывая ординарность простейшего потока, можно утверждать, что последнее выражение представляет собой вероятность появления ровно одной заявки.

26. *Обслуживание с ожиданием. Постановка задачи. Свойства экспоненциального распределения времени обслуживания. Обслуживание как Марковский процесс.

В классической постановке задача формулируется следующим образом: в СМО типа М/М/m на m одинаковых ОА поступает простейший поток заявок c интенсивностью l. Если в момент поступления заявки имеется хотя бы один свободный ОА, она немедленно начинает обслуживаться, если нет – становится в очередь. Длительность обслуживания также распределена по экспоненциальному закону, т. е. представляет собой случайную величину с одним и тем же распределением вероятностей F(x) =1- e^{- m t}, где m – интенсивность обслуживания (величина, обратная МО времени обслуживания).

Выбор экспоненциального распределения вызвана следующим свойством: при показательном распределении длительности обслуживания распределение длительности оставшейся части работы по обслуживанию не зависит от того, сколько оно уже продолжалось.

Система с ожиданием в случае простейшего потока и показательного времени обслуживания представляет случайный процесс Маркова или процесс без последействия – случайный процесс, для которого будущее развитие зависит только от достигнутого в данный момент состояния и не зависит от того, как происходило развитие в прошлом. Аналитическое моделирование СМО применимо только к Марковским процесса и системам.

В задаче обслуживания с ожиданием очереди многоканальной СМО представляются неограниченными, и рассматривается обслуживание без потерь. В реальных ВС потери могут иметь место. Аналитическими методами теории массового обслуживания решаются задачи моделирования СМО с потерями, которые могут иметь место по причине:

- ограничения количества мест в очереди;

- ограничения времени ожидания;

- ограничения времени пребывания;

приоритетного обслуживания