Числовые характеристики показательного распределения

Пусть непрерывная случайная величина X рас­пределена по показательному закону

Найдем математическое ожидание

Интегрируя по частям, получим

Таким образом, математическое ожидание показатель­ного распределения равно обратной величине параметра l. Найдем дисперсию:

Интегрируя по частям, получим

Следовательно,

Найдем среднее квадратическое отклонение, для чего извлечем квадратный корень из дисперсии:

 

Итак, получаем, что математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой.

Задание 6-10. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону

Найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение и дисперсию X,

Решение. По условию, К = 5. Следовательно,

 

Замечание 1. Пусть на практике изучается показательно распределенная случайная величина, причем параметр l неизвестен. Если математическое ожидание также неизвестно, то находят его оценку (приближенное значение), в качестве которой принимают выборочную среднюю х. Тогда приближенное зна­чение параметра l находят с помощью равенства l²=1/ù x

Замечание 2. Допустим, имеются основания предположить, что изучаемая на практике случайная величина имеет показательное распределение. Для того чтобы проверить эту гипотезу, находят оценки математического ожидания и среднего квадратического откло­нения, т. е. находят выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение

Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного рас­пределения равны между собой, поэтому их оценки должны разли­чаться незначительно. Если оценки окажутся близкими одна к дру­гой, то данные наблюдений подтверждают гипотезу о показательной распределении изучаемой величины; если же оценки различаются существенно, то гипотезу следует отвергнуть.

Показательное распределение широко применяется в приложениях, в частности в теории надежности, одним из основных понятий которой является функция надеж­ности.

 

Функция надежности

Будем называть элементом некоторое устройство независимо от того, "простое" оно или "сложное".

Пусть элемент начинает работать в момент времени t₀=0, а по истечении времени длительностью t происходит отказ. Обозначим через Т непрерывную случайную величину - длительность времени безотказной работы элемента. Если элемент проработал безотказно (до наступления отказа) время, меньшее t то, следовательно, за время длитель­ностью t наступит отказ.

Таким образом, функция распределения F (t)=P(T<t) определяет вероятность отказа за время длитель­ностью t. Следовательно, вероятность безотказной работы за это же время длительностью t, т. е. вероятность про­тивоположного события Т > t, равна

Функцией надежности R (t) называют функцию, определяющую надежность работы элемента за время длительностью t: