Характеристическое свойство показательного закона надежности.

Показательный закон надежности весьма прост и удобен для решения задач, возникающих на практике. Очень многие формулы теории надежности значительно упрощаются. Объясняется это тем, что этот закон обла­дает следующим важным свойством: "Вероятность безот­казной работы элемента на интервале времени длитель­ностью t не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени t (при заданной интенсивно­сти отказов l)".

Итак, в случае показательного закона надежности безотказная работа элемента "в прошлом" не сказывается на величине вероятности его безотказной работы "в бли­жайшем будущем".

Замечание. Можно доказать, что рассматриваемым свойством обладает только показательное распределение. Поэтому если на практике изучаемая случайная величина этим свойством обладает, то она распределена по показательному закону. Например, при допу­щении, что метеориты распределены равномерно в пространстве и во времени, вероятность попадания метеорита в космический корабль не зависит от того, попадали или не попадали метеориты в корабль до начала рассматриваемого интервала времени. Следовательно, слу­чайные моменты времени попадания метеоритов в космический корабль распределены по показательному закону.

Задание 6-12.

1. Написать функцию распределения F (х) и плотность вероятности f (х) непрерывной случайной величины X, распределен­ной по показательному закону с l = 5.

2. Непрерывная случайная величина X распределена по пока­зательному закону:

Найти вероятность того, что в результате испытания X попадет в интер­вал (0.4. 1).

4. Непрерывная случайная величина X распределена по показа­тельному закону

Найти математическое ожидание, среднее к в ад и этическое отклонение и дисперсию л.

5 Время безотказной работы элемента распределено по показа­тельному закону

где t — время, ч. Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 ч. Ответ. 0,37.

Контрольные вопросы и задания

1. Определение СНВ

2. Понятие интегральной и дифференциальной функции, их свойства и график

3. Формулы для нахождения М(Х) и D(X).

4. Алгоритм нахождения среднего квадратичного отклонения для СНВ

5. Дать характеристику законам распределения СНВ.

6. Понятие функции надежности.

Примерная тематика практических замятий

1. Вычисление вероятностей и нахождения характеристик для НСВ с помощью функции плотности и интегральной функции распределения.

2. Решение задач на формулу геометрического определения вероятности (для одномерного случая, для двумерного случая, для простейших функций от двух независимых равномерно распределенных величии)

3. Вычисление вероятностей для нормально распределенной величины (или суммы нескольких нормально распределенных величин);

4. Вычисление вероятностей и нахождение характеристик для показательно распределенной величины

Требования к знаниям умениям и навыкам

Студент должен знать определение и свойства функции плотности НСВ; формулу функции плотности для равномерно распределённой НСВ; определение и свойства интегральной функции распределения НСВ. Уметь вести расчет вероятностей для НСВ по её функции плотности и интегральной функции распределения. Вычислять математическое ожидания, дисперсию, среднеквадратическое отклонение. и медиану НСВ.

 

1. Андрюхаев Х.М. Сборник задач по теории вероятностей. М. Просвещение. 1985.

 

[2] Гмурман. В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М. Высшая школа. 2000.