Закон равномерного распределения вероятностей

При решении задач, которые выдвигает практи­ка, приходится сталкиваться с различными распределе­ниями непрерывных случайных величин. Плотности рас­пределений непрерывных случайных величин называют также законами распределений. Часто встречаются, на­пример, законы равномерного, нормального и показатель­ного распределений. В настоящем параграфе рассматри­вается закон равномерного распределения вероятностей. Нормальному и показательному законам посвящены последующие темы.

Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение.

Приведем пример равномерно распределенной непре­рывной случайной величины.

Пример. Шкала измерительного прибора проградуирована в не­которых единицах. Ошибку при округлении отсчета до ближайшего целого деления можно рассматривать как случайную величину X, которая может принимать с постоянной плотностью вероятности лю­бое значение между двумя соседними целыми делениями. Таким об­разом, X имеет равномерное распределение.

3. Числовые характеристики НСВ.

1. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины- X, возможные значения которой принадлежат отрезку [а, b], называют определенный интеграл М(Х) =

Если возможные значения принадлежат всей оси Ох, то М(Х) =

Предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно, т, е. существует интеграл то М(Х) = . Если бы это требование не выполнялось, то значение интеграла зависело бы от скорости стремления (в отдельности) ниж­него предела к -¥, а верхнего - к +¥

По аналогии с дисперсией дискретной величины опре­деляется и дисперсия непрерывной величины.

2. Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.

Если возможные значения X принадлежат отрезку [а, b],то

D(x)=

Если возможные значения принадлежат всей оси Ох, то D(x)=

 

3. Среднееквадратическое отклонение непрерывной слу­чайной величины определяется, как и для величины диск­ретной, равенством .

Можно доказать, что свойства математического ожидания и дисперсии дискретных величин сохраняются и для непре­рывных величин.

Легко получить для вычисления дисперсии более удобные формулы:

D(x)= D(x)=

Задание 6-3.

1. Случайная величина X задана плотностью распре­деления

Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины X. Согласно определениям 1 и 2 имеем:

 

 

 

» 0,47.

Задание 6-4. [5[2], C 126], примеры 1-2.

Законы распределения НСВ

5.1. Равномерное распределение. Распределение вероятностей не­прерывной случайной величины X, принимающей все свои значе­ния из отрезка [а; 6], называется равномерным, если ее плотность вероятности на этом отрезке постоянна, а вне его равна нулю, т. е.

Отсюда получим

 

Но, как известно =1, то из последнего равенства получим c=1/(b-a)

Итак, плотность вероятности непрерывной случайной величи­ны X, распределенной равномерно на отрезке [а; 6], имеет вид:

Задание 6-5. На отрезке [а; b]наугад указывают точку. Ка­кова вероятность того, что эта точка окажется в левой половине отрезка?

Обозначим через X случайную величину,— координата выбран­ной точки. X распределена равномерно (в этом и состоит точный смысл слов: «наугад указывают точку»), а так как середина отрез­ка [а; 6] имеет координату ^i—, то искомая вероятность равна (см. § 49, п. 2):

 

Впрочем, этот результат был ясен с самого начала.