Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры лиссажу

Пусть точка М одновременно колеблется в двух взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей X и Y. Рассмотрим несколько случаев:

1. Составляющие колебания имеют:

 

ω₁ = ω₂ = ω,

 

φ₁ = φ₂ = 0,

 

А₁ ≠ А_2,

 

x = A₁∙sinωt, (146)

 

y = A₂∙sinωt. (147)

Рис. 97

Находим траекторию движения, исключив t из (142) и (143): , (148) – уравнение прямой через начало координат. .

 

Результирующее колебание S:

 

.

 

2. Составляющие колебания имеют:

ω₁ = ω₂ = ω,

φ₂ – φ₁ = (частный случай φ₁ = 0; φ₂ = π/2),

А₁ ≠ А_2,

.

Рис. 98

Найдем траекторию движения (исключая t): . (149) Уравнение (145) – уравнение эллипса с полуосями А1 и А2. Если А1 = А2, то траектория – окружность.

 

3. Общий случай, когда:

А₁ ≠ А₂,

 

ω₁ ≠ ω₂,

 

φ₁ – φ₂ = Dφ,

.

 

В этом случае колеблющаяся точка будет двигаться по кривым, называемым фигурами Лиссажу. Вид кривых зависит от соотношений амплитуд, частот и начальных фаз колебаний.

Примеры: (А₁ = А₂), (φ₁ = φ₂).

(а)	(б)	Рис. 101
Рис. 99	Рис. 100

Примеры колебательных систем

1. Пружинный маятник – тело, совершающее прямолинейные колебания (вдоль оси ОХ или ОУ) под действием упругой силы.

 

 

Рис. 102. Пружинный маятник

 

F = –kx,

где k – коэффициент упругости.

; .

 

2. Математический маятник –материальная точка, подвешенная к неподвижной точке на невесомой нерастяжимой нити (или стержне) и совершающая движение в вертикальной плоскости под действием силы тяжести:

.

 

 

Рис. 103. Математический маятник

3. Физический маятник – абстрактное твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси О, не проходящей через его центр тяжести С.

,

где – приведенная длина физического маятника.

Точка О₁ – центр качания физического маятника. Точки О и О₁ обладают свойством взаимности (взаимозаменяемости).

Рис. 104. Физический маятник

Рис. 105. Физический маятник

 

Вопросы к разделу 5 «Механические колебания»

 

1. Дайте определение колебательного процесса.

2. Какие колебания называют свободными или собственными?

3. Что называют гармоническими колебаниями?

4. Какие выводы следуют из опыта 5.1 «Колебания груза на пружине»?

5. Какие выводы следуют из опыта 5.2 «Колебания маятников»?

6. Какие выводы следуют из опыта 5.6 «Свободные колебания»?

7. Чему равна полная энергия колеблющегося тела?

8. Что называется резонансом?

9. Что называется пружинным маятником?

10. Что называется математическим маятником?

11. Что называется физическим маятником?

 

ВОЛНОВОЕ ДВИЖЕНИЕ

 

Образование волн. Поперечные и продольные волны

 

Процесс распространения колебаний в среде, периодический во времени и пространстве, называется волновым процессом.

В механике волновой процесс происходит в среде, частицы которой связаны между собой упругими силами. Общий характер волновых процессов обычно рассматривается на примере возникновения и распространения механических волн.

Волны, возникающие в среде, делятся на два типа – продольные и поперечные.

Поперечные волны возникают, когда смещение колеблющихся точек направлено перпендикулярно скорости распространения волн.

Продольные волны – это волны, в которых колебания частиц среды происходят вдоль направления распространения волнового процесса.

 

	t = 0 t = T
Рис. 106. Схемы распространения поперечных и продольных волн

 

Возникновение данных видов волн зависит от упругих свойств среды, в которых распространяются волны. В твердых телах, в которых возможны упругие деформации сжатия, растяжения и сдвига, одновременно могут быть продольные и поперечные волны. В газах и жидкостях – только продольные волны, так как они не обладают упругостью в отношении сдвига.