Тема 5. Законы распределения случайных величин

Случайная величина X, являющаяся промежутком времени между появлениями двух событий простейшего потока, имеет

—нормальное распределение

—биноминальное распределение

—показательное распределение

—распределение Пуассона

Случайная величина X, являющаяся числом появлений события в простейшем потоке за промежуток времени t, имеет

—равномерное распределение

—распределение Пуассона

—показательное распределение

—нормальное распределение

Если вероятность наступления m событий в промежутке времени (t 0, t 0 + t) не зависит от числа появлений событий до начала этого промежутка, то это свойство потока событий означает

—отсутствие последействия

—ординарность

—стационарность

—равномерность

Свойство потока событий, заключающееся в практической невозможности появления двух и более событий за малый промежуток времени, означает

— стационарность

—отсутствие последействия

—ординарность

—непрерывность

Если вероятность появления m событий за промежуток времени t зависит только от числа m и величины этого промежутка, то поток событий является

—ординарным

—непрерывным

—простейшим

—стационарным

Если n →∞, p →0, при этом np = a, то биноминальное распределение в пределе дает

—показательное распределение

—распределение Пуассона

—регулярное распределение

—равномерное распределение

Интенсивность простейшего потока с течением времени

—стремится к + ∞

—стремится к -∞

—стремится к 0

—не изменяется

График плотности нормального распределения называется

—кривой Гаусса

—кривой Бернулли

—кривой Пауссона

—кривой Лапласа

Нормальное распределение случайной величины возникает тогда, когда варьирование случайной величины обусловлено воздействием

—малого числа факторов

—большого числа факторов

—редкими факторами

—конечным заранее определенным числом факторов

Дискретная случайная величина, выражающая число появления события А в n независимых испытаниях, проводимых в равных условиях и с одинаковой вероятностью появления события в каждом испытании, называется распределенной по

—нормальному закону

—по закону Пуассона

—биномиальному закону

—по показательному закону

Если случайная величина имеет биномиальное распределение, n – число независимых испытаний, а p – вероятность наступления события, то математическое ожидание вычисляется по формуле

— M (X) = n

— M (X) = p

— M (X) = npq

— M (X) = np

Если случайная величина имеет биномиальное распределение, n – число независимых

испытаний, а p – вероятность наступления события, то дисперсия случайной

величины вычисляется по формуле

— D (X) = npq

— D (X) = np

— D (X) = n - p

— D (X) = p

В распределении Пуассона редких событий параметр а равен

— a = p

— a = np

— 2 a = n

— 2 a = p

Свойство стационарности потока событий означает, что вероятность появления k

событий за промежуток времени

—не зависит от числа k

—не зависит от величины промежутка времени

—зависит только от числа k и величины промежутка времени

—не зависит ни от числа k ни от величины промежутка времени

Для расчета вероятностей ошибок при округлении показаний измерительных

приборов используют

—равномерное распределение

—биномиальное распределение

—распределение Пуассона

—нормальное распределение

Функция надежности связана с

—нормальным распределением

—биномиальным распределением

—равномерным распределением

—показательным распределением

Математическое ожидание равномерно распределенной случайной величины

вычисляется по формуле

—

()

a b

M X

-

=

—

()

a b

M X

+

=

—

()

b a

M X

-

=

— M (X) = a + b

Дисперсия равномерно распределенной случайной величины вычисляется по формуле

— D (X) = b - a

— D (X) = b + a

—

()

()

2 b a

D X

-

=

—

()

b a

D X

-

=

Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины в интервал

[a;b ] Ì [ a, b ] вычисляется по формуле

—

a b

P X

+

+

£ £ =

a b

(a b)

—

a b

P X

+

-

£ £ =

a b

(a b)

—

a b

P X

+

-

£ £ =

b a

(a b)

—

b a

P X

-

-

£ £ =

b a

(a b)

Плотность распределения случайной величины с показательным распределением

имеет вид

—

î í ì

³

<

=

- 0

0 0;

()

e при x

при x

f x

l x l

—

î í ì

³

<

=

-

0, 0

0;

()

при x

e при x

f x

l x l

—

î í ì

³

<

=

0 0;

()

e при x

при x

f x

l x l

— x f x e l () =

Функция распределения случайной величины с показательным распределением имеет

вид

—

î í ì

³

<

=

0 0;

()

e при x

при x

F x

l x

—

 

— x F x e l () =

У показательного распределения математическое ожидание и среднее квадратическое

отклонение

—всегда различны

—всегда различаются на единицу

—всегда равны

—всегда равны 1

Если l - интенсивность отказов работы элемента, то - это

—надежность работы

—скорость отказов работы

—вероятность отказа

—наработка на отказ

Графиком плотности распределения равномерно распределенной случайной величины

является

—кусочно-непрерывная функция

—парабола

—гипербола

—экспонента

Для равномерно распределенной случайной величины параметр с вычисляется по

формуле

— c = a + b

—

b a

c

-

=

—

a b

c

+

=

— c = b - a

Распределение Пуассона имеет

—0 параметров

—два параметра

—один параметр

—три параметра

Показательное распределение имеет

—0 параметров

—три параметра

—два параметра

—один параметр

Нормальное распределение имеет

—два параметра

—0 параметров

—один параметр

—три параметра

Среднее квадратическое отклонение биномиально распределенной случайной

величины вычисляется по формуле

—s (X) = np

—s (X) = np (1- p)

—s (X) = np

—s (X) = np (1- p)

В распределении Пуассона редких событий при n ®¥

— p ®¥

— p ® const ¹ 0

— p ®0

— p ®1

В точке x = a кривая Гаусса имеет

—точку перегиба

—точку минимума

—точку разрыва

—точку максимума

Точки x = a -s 1 и x = a +s 2 являются для кривой Гаусса

—точками перегиба

—точками максимума

—точками минимума

—точками разрыва

Функция плотности нормального распределения с математическим ожиданием a и

средне-квадратическим отклонением s задается формулой

 

 

Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина Х, имеющая

математическое ожидание а и средне-квадратическое отклонение s, примет значение

из интервала (c, d) равна

 

 

s s

d a c a

P (c X d)

Вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины Х

от ее математического ожидания не превзойдет по абсолютной величине a > 0, равна

— () ÷ø

ö

çè

æ

- £ = F

s

a

a

P X a

— P (X - a £a) = F(a ×s)

— () ÷ø

ö

çè

æ

- £ = F

s

a

a

P X a

— () ÷ø

ö

çè

æ

- £ = F

s

a

P X a a

Распределение Пуассона характеризуется тем, что его математическое ожидание и

дисперсия

—равны между собой

—обратно пропорциональны друг другу

—оба равны 0

—отличаются друг от друга на 1

Поток событий называется простейшим, если он обладает следующими свойствами

—стационарностью, отсутствием последействия, независимостью

—стационарностью, отсутствием последействия, ординарностью

—отсутствием последействия, периодичностью, непрерывностью

—стационарностью, периодичностью, непрерывностью

Интенсивностью потока называется

—общее число появления событий в наблюдаемый отрезок времени

—среднее время между появлением событий

—среднее число появлений событий за единицу времени

—общее время между появлением событий

Случайная величина, являющаяся числом появлений событий в простейшем потоке за

фиксированный промежуток времени, имеет распределение

—нормальное

—биномиальное

—показательное

—Пуассона

Непрерывная случайная величина, являющаяся промежутком времени между

появлением двух событий в простейшем потоке, имеет

—равномерное распределение

—нормальное распределение

—биномиальное распределение

—показательное распределение

Параметрами нормального распределения являются

—математическое ожидание и средне-квадратическое отклонение

—функция распределения и функция плотности распределения

—функция j (x) и F(x)

—дисперсия и средне-квадратическое отклонение

Если плотность распределения f (x) непрерывной случайной величины имеет вид

[ ]

[ ] î í ì

Ï

Î

=

при x a b

cпри x a b

f x

0,

,

(), где с= const, то эта случайная величина имеет

—нормальное распределение

—равномерное распределение

—показательное распределение

—биномиальное распределение

Плотность нормального распределения определяется формулой

—

()

() s

s

x a

f x e

-

=

—

 

Случайная величина равномерно распределена на отрезке [2,6]. Ее дисперсия равна

—

—3

—

—2

Случайная величина равномерно распределена на отрезке [2,8]. Ее математическое

ожидание равно

—2

—3

—8

—5

Случайная величина имеет биномиальное распределение с параметрами n=40 и p=0,3.

Ее математическое ожидание равно

—3

—18

—12

—10

Случайная величина имеет биномиальное распределение с параметрами n=20 и p=0,4.

Ее дисперсия равна

—9

—4,8

—13

—2,1

Соответствие между возможными значениями дискретной случайной величины и

вероятностями их появления называется

—законом распределения дискретной случайной величины

—законом больших чисел

—вероятностным соотношением

—пределом дискретной случайной величины

Непрерывную случайную величину можно задать с помощью

—ряда распределения

—функции распределения

—полигона распределения

—вероятностной таблицы

Функция распределения случайной величины X задается формулой

— F (x) = P (X > x)

— F (x) = P (X = x)

— F (x) = P (X < x)

— F (x) = X

График функции распределения дискретной случайной величины представляет собой

—непрерывную линию

—кривую Гаусса

—изображение отдельных точек на плоскости

—ступенчатую разрывную линию

Сумма величин всех скачков на графике функции распределения дискретной

случайной величины равна

—1

—0

—¥

—произвольному числу

Графическое изображение функции плотности распределения называется

—эмпирической кривой

—кривой распределения

—графиком случайной величины

—вероятностной кривой

Дисперсия непрерывной случайной величины, заданной на интервале (a; b),

вычисляется по формуле

— () () (())2 2 D X x f x dx M X

b

a

= ò +

— () = ò ()

b

a

D X x f x dx 2

— () () (())2 2 D X x f x dx M X

b

a

= ò -

— D (X) xf (x) dx M (X)

b

a

= ò -

Интеграл Пуассона e dx

x

ò

¥

-¥

-

равен

—p

—2p

— p

— 2p

Графиком функции распределения равномерно распределенной случайной величины

является

—непрерывная ломаная линия

—непрерывная кривая

—разрывная ступенчатая линия

—кривая Гаусса

Функция плотности распределения случайной величины с показательным

распределением имеет вид

— ()

î í ì

³

<

=

e при 0

0 при 0;

x x

x

f x

l l

— ()

î í ì

³

<

=

e при 0

0 при 0;

x x

x

f x

l

— ()

î í ì

³

<

=

- e при 0

0 при 0;

x x

x

f x

l l

— ()

î í ì

³

<

=

- e при 0

0 при 0;

x x

x

f x

l

График плотности вероятности равномерно распределенной на отрезке [-1;5]

случайной величины X имеет вид:

Тогда значение c равно

—

—

—

—1

График плотности вероятности равномерно распределенной на отрезке [-3;4]

случайной величины X имеет вид:

f (x)

-1 0 5 x

с

Тогда постоянная c равна

—

—1

—

—

График плотности вероятности равномерно распределенной на отрезке [-2;6]

случайной величины X имеет вид:

Тогда постоянная c равна

—

—

—1

—

Точечная оценка математического ожидания распределения СB равна 7. Тогда его

интервальная оценка может иметь вид

—(6,3;7)

—(7;7,5)

—(6,4;7,3)

—(6,2;6,8)

Точечная оценка дисперсии распределения СB равна 9. Тогда ее интервальная оценка

может иметь вид

—(8,3;9,2)

—(9;10,2)

f (x)

-2 0 6 x

с

f (x)

-3 0 4 x

с

—(8,1;9)

—(9;10)

Точечная оценка математического ожидания распределения СB равна 3. Тогда его

интервальная оценка может иметь вид

—(2,1;3)

—(2,4;3,3)

—(3;3,8)

—(3,7;4,2)

Точечная оценка дисперсии распределения СB равна 2. Тогда ее интервальная оценка

может иметь вид

—(1,3;2)

—(2;2,8)

—(2,4;3,1)

—(1,8;2,5)

Случайная величина X распределена по нормальному закону. Вероятность

равна Ф(4). Параметры нормального распределения равны

— a = 1,

— a = 2,

— a = 2,

— a = 2,

Параметры нормального распределения случайной величины X равны:

a = 5, причем. Значение равно

—2

—2,5

—0,5

—1

Ошибка измерения - нормально распределенная случайная величина с дисперсией,

равной 16. Систематическая ошибка равна 5. Вероятность того, что ошибка измерения

окажется в интервале (3;7), равна

—Ф(0,5)

— ((1) (0,5)

Ф - Ф)

—Ф(1) - Ф(0,5)

— ((0,5) (1)

Ф - Ф)

Дисперсия нормально распределенной случайной величины D (X) = 0,25. С

вероятностью, близкой к 1, можно утверждать, что

—

—

—

—

С вероятностью, близкой к 1, можно утверждать, что нормально распределенная

случайная величина X удовлетворяет условию:. Дисперсия D (X) равна

—0,25

—1,25

—2,25

—2,5

Параметры нормального распределения случайной величины X равны: a = 4,.

Тогда вероятность равна

—Ф(4)

—Ф(2)

—Ф(3)

—Ф(1,5)

Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина X, имеющая

математическое ожидание a = 3 и среднее квадратическое отклонение s = 2, примет

значение из интервала (1;6), равна

— ((1,5) (1)

Ф + Ф)

— ((1,5) (1)

Ф - Ф)

— ((1) (1,5)

Ф - Ф)

—Ф(1) - Ф(1,5)