Тема 3. Повторные независимые испытания

Повторными независимыми испытаниями относительно события А называются испытания

—которые повторяются

—которые повторяются и не зависят от других испытаний

—которые проводятся в одних и тех же условиях и с одинаковой вероятностью появления события А в каждом испытании

—в которых событие А повторяется

Вероятность появления события А m раз в n повторных независимых испытаниях при

n £10 определяется

—формулой Бернулли

—локальной теоремой Лапласа

—интегральной теоремой Лапласа

—формулой Пуассона

Наивероятнейшим числом наступлений события А в n независимых испытаниях

называется

—наибольшее число наступлений события А

—наибольшая вероятность наступления события А

—число наступлений события А при наибольшем числе испытаний

—число наступлений события А, при котором вероятность наступления события А в n

независимых испытаниях наибольшая

Функция 2

()

x

x e

-

=

p

j обладает следующими свойствами

—четная возрастающая

—нечетная убывающая

—четная положительная

—нечетная положительная

Функция x e dt

x t

ò

-

F =

()

p

обладает следующими свойствами

—нечетная возрастающая

—четная возрастающая

—нечетная убывающая

—четная убывающая

Локальная теорема Лапласа позволяет вычислить

—наивероятнейшее число наступлений события в n независимых испытаниях

—относительную частоту наступлений события в n независимых испытаниях

—вероятность появления события m раз в n независимых испытаниях (n >10)

—вероятность отклонения числа появлений события m от числа независимых

испытаний n

Интегральная теорема Лапласа позволяет вычислить

—вероятность появления события A m раз в n испытаниях (n >10)

—вероятность появления события A в n испытаниях не менее а, но не более b раз (n

>10)

—наивероятнейшее число появлений события A в n независимых испытаниях (n >10)

—относительную частоту наступлений события A в n независимых испытаниях

Из следствия из интегральной теоремы Лапласа следует что

—относительная частота поступлений события равна вероятности появления этого

события

—относительная частота наступлений события отклонится от вероятности появления

этого события

—с увеличением числа n независимых испытаний вероятность наступления события

увеличивается

—с увеличением числа испытаний n относительная частота

n

m приближается к

вероятности появления события в одном испытании

Математическое ожидание случайной величины – числа появлений события А в n

независимых испытаниях с вероятностью p наступления события А – равно

— 2 np

—

n

p

—

n

p 2

— np

Дисперсия случайной величины – числа появлений события А в n независимых

испытаниях с вероятностью p наступления события А – равна

— npq

— np

— p

— pq

Вероятность появления события А m раз в n независимых испытаниях

—зависит только от m и n

—зависит от m, n и p

—зависит только от m

—не зависит от m и n

Вероятность появления события А m раз в n повторных независимых испытаниях при

n >10 определяется формулой

— m m n m

n C p q -

—

npq

j (x)

—

npq

m np

x

-

=

— (() ())

F n -F m

Вероятность P (a £ m £ b)появления события А в n повторных независимых

испытаниях (n >10) равна

— (() ())

F b -F a

— (() ())

F b -F a

— (() ())

F b +F a

— (() ())

F b +F a

В локальной теореме Лапласа

npq

x

P n m

()

,

j

» аргумент функции j (x) равен

npq

m

x =

—

npq

np

x =

—

npq

m np

x

-

=

— x = m - np

В интегральной формуле Лапласа (() ())

P (a £ m £ b)» F b -F a, аргумент a функции

F(a) равен

—

npq

a

a =

—

npq

np

a =

—a = a - np

—

npq

a - np

a =

В интегральной формуле Лапласа (() ())

P (a £ m £ b)» F b -F a, аргумент b функции

F(b) равен

—

npq

b

b =

—

npq

np

b =

—b = b - np

—

npq

b - np

b =

n m P, это

—вероятность наивероятнейшей частоты

—вероятность того, что при n испытаниях события наступит равно m раз

—условная вероятность события

—вероятность, что при повторных испытаниях событие произойдет от m до n раз

При повторных независимых испытаниях используются формулы: а) Бернулли; б)

Локальная Лапласа; в) Интегральная Лапласа. Точными являются

б)

—a)

—в)

—б), в)

P (a £ m £ b) это вероятность того, что при n повторных независимых испытаниях

событие произойдет

—от а (включительно) до b в (включительно раз)

— a + b раз

—больше а и меньше b раз

— a - b раз

Наивероятнейшее число 0 m может иметь

—только одно значение

—либо одно, либо два значения

—обязательно два значения

—три значения

Для случайной величины – числа появлений события А в n независимых испытаниях с

вероятностью p наступления события А выражение np является

—дисперсией

вариацией

—средним квадратическим отклонением

—математическим ожиданием

Для случайной величины – числа появлений события А в n независимых испытаниях с

вероятностью p наступления события А выражение np (1- p) является

математическим ожиданием

—дисперсией

—вариацией

—средним квадратическим отклонением

Математическое ожидание случайной величины – числа наступлений события А с

вероятностью p = 0,4 в n =100 независимых испытаниях равно

—45

—50

—30

—40

Дисперсия случайной величины – числа наступлений события А с вероятностью

p = 0,3 в n =100 независимых испытаниях равна

—30

—21

—39

—23

Вероятность появления события A m раз в n повторных независимых испытаниях

определяется формулой Бернулли при

— n >10

— n >100

— n £100

— n £10

Формула для определения наивероятнейшего числа 0 m имеет вид

— np - p £ m £ np + p 0

— np - q £ m £ np + q 0

— np - q £ m £ np + p 0

— q £ m £ p 0

Вероятность появления события А m раз в n повторных независимых испытаниях при

n £10 определяется формулой

— (() ())

F n -F m

— m m n m

n C p q -

—

npq

j (x)

—

npq

m np

x

-

=

Выражение

npq

m np

x

-

= используется в

—локальной теореме Лапласа

—интегральной теореме Лапласа

—формуле Бернулли

—формуле Пуассона

С вероятностью, близкой к ()

pq

n

F e, можно утверждать, что при достаточно большом

числе испытаний абсолютная величина отклонения частости (относительной частоты,

доли)

n

m

события А от его вероятности p не превзойдет положительного числа

— n

— p

— q

—e

В следствии интегральной теоремы Лапласа e ÷» F(b)

ø

ö

ç

è

æ

- p £

n

m

P аргумент функции

F(b) равен

—

 

При достаточно большом числе испытаний абсолютная величина отклонения частости

(относительной частоты, доли)

n

m

события А от его вероятности p не превзойдет

положительного числа e с вероятностью, близкой к

— ÷ ÷

ø

ö

ç ç

è

æ

F

pq

n e

— ÷ ÷

ø

 

Если проводится n независимых испытаний, то в каждом из них событие А может

произойти с вероятностью p или не произойти с вероятностью

—1+ p

— p -1

—1- p

— p +1

Вероятность наступления события A m раз в n повторных независимых испытаниях

при n >10 определяется

—формулой Пуассона

—формулой Бернулли

—локальной теоремой Лапласа

—интегральной теоремой Лапласа

Формула e ÷» F(b)

ø

ö

ç

è

æ

- p £

n

m

P, где

pq

n

b = e определяет

—локальную теорему Лапласа

—интегральную теорему Лапласа

—формулу Пуассона

—следствие интегральной теоремы Лапласа

Выражение

pq

n

b = e используется в

—следствии интегральной теоремы Лапласа

—локальной теореме Лапласа

—интегральной теореме Лапласа

—формуле Пуассона

Если число независимых испытаний n =100, а математическое ожидание случайной

величины равно 40, то вероятность наступления события А в каждом из этих

испытаний равна

—0,2

—0,4

—0,6

—0,8

Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний

равна 0,6, а математическое ожидание равно 120, то n равно

—100

—200

—500

—1000

Указать число повторных независимых испытаний, при котором не рекомендуется

использовать формулу Бернулли

—6

—8

—10

—12

Указать число повторных независимых испытаний, при котором рекомендуется

использовать локальную теорему Лапласа

—5

—8

—10

—13

Вероятность наступления события А в каждом из n повторных независимых

испытаний равна p=0,7, а дисперсия равна 21. Число n равно

—50

—100

—10

—150

Число наступлений события А, при котором вероятность наступления события А в n

независимых испытаниях наибольшая, называется

—наибольшей вероятностью

наивероятнейшим числом

—наибольшим числом

—наивероятнейшим событием

В выражении

npq

m np

x

-

= средним квадратичным отклонением является величина

— np

— m

— npq

— npq

Величина npq в выражении

npq

m np

x

-

= представляет собой

—математическое ожидание

—среднее квадратичное отклонение

—дисперсию

—вариацию

Если число независимых испытаний n =100, а математическое ожидание случайной

величины равно 50, то среднее квадратичное отклонение равно

—1

—3

—5

—7

Предел функции (x) e dt

x t

ò

-

F =

p

при x ®+¥ равен

—-1

—0

—1/2

—1

Для функции (x) e dt

x t

ò

-

F =

p

выполняется соотношение

—F(- x) = F(x)

—F(- x) = -F(x)

— (x) (x) 2 F - = F

—F(- x) = F(x)

Для значений a и b из интегральной теоремы Лапласа имеют место соотношения

— a = np -a npq, b = np + b npq

— a = np -a npq, b = np -b npq

— a = np +a npq, b = np -b npq

— a = np +a npq, b = np + b npq

Для функции () 2

1 x

x e

-

=

p

j выполняется

—j(- x) =j(x)

—j(- x) = -j(x)

— (x) (x) 2 j - =j

—j(- x) = j(x)

Функция () 2

1 x

x e

-

=

p

j достигает максимума при x, равном

—-1

—0

—1

—¥

При увеличении числа испытаний n относительная частота

n

m

приближается к

вероятности появления события

—в бесконечном числе испытаний

—в n испытаниях (n > 10)

—в одном испытании

—в десяти испытаниях

В выражении

npq

m np

x

-

= величина np является

—дисперсией

—средне-квадратическим отклонением

—математическим ожиданием

—вероятностью наступления события в одном испытании

Предел функции () 2

1 x

x e

-

=

p

j при x ®+¥ равен

—-¥

—-1

—0

—1

Интегральная функция Лапласа F(x) при x ®-¥ стремится к

—1

—-¥

—0

—-1

Функция () 2

1 x

x e

-

=

p

j при x ®-¥ стремится к

—-¥

—+ ¥

—0

—1

В районе посажены 1000 деревьев. Вероятность того, что дерево не приживется, равна

0,08. Для определения вероятности того, что из посаженных деревьев не приживутся

более 80 деревьев, применяется

—локальная теорема Лапласа

интегральная теорема Лапласа

—формула Бейеса

—теорема Пуассона

Страхуется 1500 машин. По статистике машина может попасть в аварию с

вероятностью 0,04. Для определения вероятности того, что среди застрахованных

машин количество аварий не превзойдет 90, следует применить

—статистическую вероятность

—локальную теорему Лапласа

—формулу полной вероятности

интегральную теорему Лапласа