Задача об оптимальном использовании ресурсов

Для изготовления двух видов продукции используется четыре вида ресурсов: В₁ В₂, В₃, В₄. Запасы ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, приведены в табл. 1.

Таблица 1

Вид ресурса	Запас ресурса	Число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции
	Первый вид продукции	Второй вид продукции
В1
В2
В3
В4

На производство единицы продукции 1-го и 2-го вида используется различное количество ресурсов. Так, на производство единицы продукции 1-го вида используется только одна единица ресурса B₁, а на производство единицы продукции 2-го вида используется 3 единицы ресурса В₁, на производство единицы продукции 1-го вида используется 2 единицы ресурса В₂, а на производство единицы продукции 2-го вида используется 1 единица ресурса В₂, в то же время на производство продукции 1-го вида ресурс В₃ вообще не используется, а на производство продукции 2-го вида не используется ресурс В₄.

Выручка, получаемая предприятием от продажи единицы продукции первого и второго вида, составляет соответственно 2 и 3 рубля.

Необходимо составить такой план производства продукции первого и второго вида, при котором выручка предприятия от ее реализации будет максимальной.

Составим экономико-математическую модель задачи. Пусть

х ₁ — число единиц продукции первого вида, запланированное к производству;

х₂ — число единиц продукции второго вида, запланированное к производству.

На их изготовление предприятию потребуется:

х ₁ + Зх ₂ единиц ресурса В₁;

2 х ₁ + х ₂ единиц ресурса В₂;

х ₂ единиц ресурса В₃;

З х ₁ единиц ресурса В₄.

Так как потребление ресурсов не должно превышать их запасы, связь между потреблением ресурсов и их запасами выразится системой ограничений:

х ₁ + З х ₂ ≤ 18 (1.4.1)

2 х ₁ + х ₂ ≤ 16

х ₂ ≤ 5

З х ₁ ≤ 21

По смыслу задачи: х ₁ ≥ 0, х ₂ >0, (1.4.2)

так как количество выпускаемой продукции, как первого, так и второго вида не может быть отрицательным.

Суммарная выручка от реализации продукции первого вида составит 2*х₁, а от реализации продукции второго виде — З*х₂. Таким образом, суммарная выручка от реализации обоих видов продукции составит:

F = 2*х₁ + З*х₂ → max (1.4.3)

Требуется найти такой план выпуска продукции Х=(х₁, х ₂), который удовлетворял бы ограничениям (1.4.1) и (1.4.2) и при котором целевая функция F (1.4.3) принимала бы максимальное значение.

Эту задачу легко обобщить на n видов продукции и m видов ресурсов.

Обозначим через

х _j — число единиц j-ro вида продукции (j=l,...,n), запланированной к производству;

b_i — запас i-ro ресурса (i=l,...,m);

а_ij — число единиц ресурса i, затрачиваемого на изготовление единицы продукции j-ro вида (а_ij часто называют технологическими коэффициентами);

c_j — выручка от реализации единицы продукции j- го вида (или цена продукции j-ro вида).

Тогда экономико-математическая модель задачи об использовании ресурсов в общей постановке примет вид: найти такой план Х=(x₁, x₂..., x_n) выпуска продукции, который удовлетворял бы системе ограничений:

a_llx₁+a₁₂x₂+... + a_1nx_n ≤ b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+ + a_2nx_n ≤ b₂

а₃₁х₁+а₃₂х₂+... + а_зnх_n ≤ b₃

_{…………………………………………}

a_m1х₁+а_m2х₂+... + а_mnх_n ≤ b_m

х ₁ ≥ 0, х ₂ ≥ 0,…, х_n≥ 0

и при котором целевая функция достигла бы своего максимального значения:

F = (c₁ х₁ + c₂ х₂ + c₃ х₃ +…..+ c_n х_n) → max

Задача составления рациона

При откорме каждое животное ежедневно должно получать не менее 9 единиц питательного вещества S _l, не менее 8 единиц вещества S₂ и не менее 12 единиц вещества S₃. Для составления рациона используется два вида корма. Содержание количества единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и стоимость 1 кг корма приведены в таблице:

Питательные вещества	Количество единиц питательных веществ в 1 кг корма
	Корм 1	Корм 2
S l
S2
S3.
Стоимость 1 кг корма

Необходимо составить дневной рацион нужной питательности, причем затраты на него должны быть минимальны. Обозначим x_l и x₂ соответственно количество килограммов корма 1 и корма 2 в дневном рационе.

Получим систему ограничений

3 х₁+ х₂ ³ 9

х₁ + 2х₂ ³ 8,

х₁ + 6х₂ ³ 12

х₁ ³ 0, х₂ ³ 0.

Цель задачи: общая стоимость рациона F = 4 х₁ + 6х₂ должна быть минимальной.

Задачу составления рациона можно обобщить, если предусмотреть в рационе т видов питательных веществ в количестве не менее b _i (i = 1,..., т) единиц и использовать nвидов кормов.

Обозначим a _ij (i = 1,..., т; j = 1,..., n) количество единиц i-того питательного вещества, содержащегося в единице j-того корма, С_j — стоимость единицы j-того корма, х _j— количество единиц j-того корма в дневном рационе.

Тогда необходимо найти минимум линейной функции

F = C ₁x_l +… + C _n х_n

при ограничениях

a_llx_l + a₁₂x₂+... + a_lnx_n ³ b₁

a_2lx_l + а₂₂х₂ +... + а_2nх_n ³ b₂

_{…………………………………………….}

a_m1 x_l + а_m2х₂ +... + а_mnх_n ³ b_m

х_j ³ 0. (j= 1,..., n)

b_i ³ 0(i = l,..., m)

Если бы требовалось, чтобы в процессе производства (для первой задачи) какой-то ресурс использовался полностью или в дневном рационе (во второй задаче) должно содержаться точное количество единиц какого-то питательного вещества, то ограничения были бы выражены в форме уравнений, а не неравенств.