Одноканальные СМО. Математический аппарат.

СМО – называется любая система предназначенная для обслуживания заявок (требований). Любое устройство, непосредственно занимающееся обслуживанием заявок, называется каналом обслуживания (прибор). СМО бывает как одноканальными так и многоканальными. Различают СМО с отказами и с очередями (ожиданиями). В СМО с отказами заявка принимающиеся в момент времени, когда все каналы заняты, получает отказ, и покидает СМО не обслуженная. В СМО с очередями заявка, пришедшая в момент времени, когда все каналы заняты, становятся в очередь на ожидание и, ждет пока не освободится, какой нибудь канал. Число мест в очереди может быть конечным и бесконечным. СМО с очередями различается по дисциплине обслуживания:

· В порядке очереди по приоритетам

· В случайном

· По приоритетам

СеМО получается из комбинации нескольких СМО. При этом входной поток заявок последней фазы является выходным потоком предыдущей фазы.

Для обозначения типов СМО предложена кенделлом и башариным системы обозначений:

A/B/C/D

А – закон распределения для интервала поступлений.

В – закон распределения интервалов времени для канала

С – число каналов в СМО

D – число мест в очереди.

Обозначение законов распределения в позициях А и В буквами следующего списка:

М – экспоненциально (интервал времени между соседними событиями является случайной величиной)

R – равномерное распределение (промежуток времени между последними событиями равномерно распределенном на заданном интервале)

D – детерминированное (промежуток времени между последними событиями постоянная величина).

Е^к – Эрлаговское распределение порядка к (получается прорежеванием случайного потока когда сохраняется каждая к точка, а все промежуточные выбрасываются)

G - произвольного (любого вида). Если число мест в очереди неограниченно то D не указывается.

В перечисленных терминах СМО описываются многие реальные системы.

Приход заявок образует гаусовский поток, что означает, что время прихода двух последующих заявок есть случайная независимая величина.

формула 1

Где х – случайная величина

Λ-среднее число заявок приходящих в единицу времени

µ - время обслуживания заявок, является независимой случайной величиной с ехр функцией распределения по ф 1

величину обратную интенсивности обслуживания называют средним временем обслуживания

Одноканальное СМО задается: λ, Т_обс

Чтобы найти расчетные характеристики основными из которых являются:

· Коэффициент загрузки

· Средняя длина очереди L

· Среднее число заявок в СМО M

· Среднее время ожидания Т_ож

· Среднее время пребывания заявок Т_пр

для того, чтобы система находилась в стационарном режиме

Т_ож = заявка в среднем перемещается в очереди с постоянной скоростью. Среднее число переходов заявки на одно место вперед = λ.

Необходимо чтобы коэффициент использования был> коэффициента простоя.

Т_ож – характеризует среднее время в течении, которого ожидается освобождение устройства. Желательно, чтобы оно было достаточно мало.