Основные свойства интегрирования

при

Задания на вычисление интегралов:

Задание 1	Вычислить неопределенный интеграл
Решение:	Разделим почленно на Согласно свойствам неопределенного интеграла, интеграл от суммы равен сумме интегралов от каждого из слагаемых: Получили сумму табличных интегралов, которые в свою очередь равны

 

Задание 2	Вычислить неопределенный интеграл
Решение:	Согласно свойствам неопределенного интеграла, интеграл от суммы равен сумме интегралов от каждого из слагаемых, то есть заданный интеграл можно представить в следующем виде: Выносим коэффициенты 5 и 12 из под знака интеграла (согласно свойствам неопределенного интеграла), имеем: Для первого интеграла применяем формулу а для второго тот факт, что знак интеграла уничтожает знак дифференциала:

 

Задание 3	Вычислить неопределенный интеграл
Решение:	Для решения данного интеграла не нужно использовать свойства неопределенных интегралов, достаточно формулы интеграла степенной функции: В нашем случае , тогда искомый интеграл равен:

 

Задание 4	Вычислить неопределенный интеграл
Решение:	Для того, чтобы привести интеграл к табличному преобразуем подынтегральное выражение согласно свойствам степеней: далее, применяя табличный интеграл для степенной функции при , получим

 

Задание 5	Вычислить неопределенный интеграл
Решение:	Для вычисления данного интеграла будем использовать табличный интеграл для показательной функции при . Тогда искомый интеграл равен

 

Задание 6	Вычислить неопределенный интеграл
Решение:	Согласно свойствам неопределенного интеграла, неопределенный интеграл от суммы равен сумме интегралов: Для вычисления первого интеграла используем табличный интеграл Для вычисления второго - табличный интеграл при . В итоге искомый интеграл равен

 

Задание 7	Вычислить неопределенный интеграл
Решение:	Распишем подынтегральную функцию, используя формулу для куба разности Далее, согласно свойствам неопределенного интеграла, разобьем интеграл на сумму (разность) интегралов, каждый из которых будет табличный Все подынтегральные функции являются степенными, используя табличный интеграл для степенной функции а также учитывая тот факт, что константу можно выносить за знак интеграла, получим:

 

Задание 8

Вычислить неопределенный интеграл

Решение:

Для вычисления этого интеграла сначала разделим многочлен, стоящий в числителе, на знаменатель: Полученный интеграл от суммы (разности) разобьем на сумму (разность) интегралов: Вынесем постоянные множители за знак интеграла: Далее, используя табличный интеграл для степенной функции А также учитывая свойства неопределенного интеграла, что знак интеграла уничтожает знак дифференциала (для третьего слагаемого), получим

 

Задание 9	Вычислить неопределенный интеграл
Решение:	Согласно свойствам неопределенного интеграла преобразуем интеграл суммы в сумму интегралов вынесем постоянные коэффициенты за знак интеграла используя таблицу интегралов, окончательно получим

 

 

Задание 10	Вычислить неопределенный интеграл
Решение:	Преобразуем подынтегральную функцию, разделив числитель почленно на знаменатель Согласно свойствам неопределенного интеграла, интеграл разности равен разности интегралов: Используя таблицу интегралов, в результате получим

 

Задание 11	Вычислить неопределенный интеграл
Решение:	Разделим почленно числитель на знаменатель Заменим интеграл суммы (разности) на сумму (разность) интегралов Вынесем постоянные множители за знак интеграла и представим дроби как основания с отрицательными показателями степени: Вычислим полученные интегралы с помощью таблицы интегралов:

Задания на вычисление интегралов:

1) 6)

2) 7)

3) 8)

4) 9)

5) 10)

Задания для самостоятельной работы по теме

Найти интегралы, используя таблицу и основные свойства неопределенного интеграла:

1) 4)

2) 5)

3) 6)

Материал по дисциплине «Элементы высшей математики»