Вычисление определителей 2 и 3 порядков

Основы линейной алгебры

Линейные операции над матрицами (в качестве примеров рассмотрены квадратные матрицы 3 порядка)

1) Сумма матриц:

;

 

2) Произведение матрицы А на число к:

 

;

 

Умножение матриц (рассмотрено на примере квадратных матриц 2 порядка)

;

 

Свойства матриц:

- сочетательный закон;

- распределительный закон.

Важно!

 

Вычисление определителей 2 и 3 порядков

;

Основные свойства определителей

1. Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами (транспонировать).

2. При перестановке двух строк (или столбцов0 определитель изменит свой знак на противоположный.

3. Общий множитель всех элементов строки (или столбца) можно вынести за знак определителя.

4. определитель с двумя одинаковыми столбцами (или строками) равен нулю.

5. Если все элемнены двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

6. Если к какой-либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно или то же число, то определитель не изменит своей величины.

7. Треугольный определитель, у которого все элементы, лежащие выше (или ниже) главной диагонали – нули, равен произведению элементов главной диагонали.

Алгоритм вычисления обратных матриц второго и третьего порядков

1. Найти определитель матрицы А.

2. Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы А и записать новую матрицу.

3. Поменять местами столбцы полученной матрицы (транспонировать).

4. Умножить полученную матрицу на 1/D, где D – определитель.

Важно! Для того чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной, т.е. чтобы ее определитель был отличен от нуля.

 

 

Задания по основам линейной алгебры

Найдите: , если

.

Решите систему уравнений различными способами:

Задания на отработку умений

Вычислите: , если

.

Решите систему уравнений различными способами:

Задания для самостоятельной работы по основам линейной алгебры

(во внеурочное время)

Вычислите линейную комбинацию:

.

Найти произведение матриц и

.

Решите системы уравнений различными способами:

, .

Материал по дисциплине «Элементы высшей математики»

Практическая работа № 1 по теме «Вычисление пределов»

Определение 1.

Постоянная величина а называется пределом переменной х, если модуль разности при изменении х становится и остается меньше любого как угодно малого положительного числа .

Итак, (предел х равен а) или (х стремится к а).

Основные свойства пределов

1. Предел алгебраической суммы конечного числа переменных величин равен алгебраической сумме пределов слагаемых: .

2. Предел произведения конечного числа переменных величин равна произведению их пределов: .

3. Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

4. Предел отношения двух переменных величин равен отношению пределов. Если предел знаменателя не равен нулю:

5. Предел целой положительной степени переменной величины равен той же степени предела этой же переменной:

Определение 2.

Число называется пределом функции в точке если для всех значений , достаточно близких к и отличных от , значение функции сколь угодно мало отличается от числа .

Определение 3.

Число называется пределом функции y=f(x) на бесконечности (или при х, стремящимся к бесконечности), если для всех достаточно больших по модулю значений аргумента х соответствующее значения функции сколь угодно мало отличается от числа .

Замечательные пределы

(первый замечательный предел)

(второй замечательный предел)

Правила дифференцирования

I. , С - постоянная. II. .

III. . IV. .

V. , С – постоянная. V. .

VII.

Формулы дифференцирования

Основные элементарные функции	Сложные функции

Примеры вычисления производных:

Пример 1.

;

Решение:

Пример 2.

;

Решение:

Пример 3.

;

Решение:

Пример 4.

;

Решение:

Пример 5. .

Решение: Для нахождения производной данной функции используем правила дифференцирования и таблицу производных. Так как производная суммы/разности равна сумме/разности производных, то постоянный множитель можно вынести за знак производной Воспользуемся формулой для производной степенной функции:

Пример 6. .

Решение: Производная суммы равна сумме производных Воспользуемся формулами из таблицы производных - формулы производных степенной, тригонометрической и логарифмической функций:

Пример 7. . Решение:

По свойству дифференцирования произведения теперь воспользуемся формулами из таблицы производных - формулами для производных показательной и тригонометрической функций:

Найти производную функции

Воспользуемся правилом дифференцирования частного: Производная суммы/разности равна сумме/разности производных и константу можно выносить за знак производной, поэтому имеем:

Пример 8. .

Решение: По свойству дифференцирования частного получаем: Далее пользуясь формулами для производных логарифмической и степенной функции, получим: Для вычисления производной функции использовались правила дифференцирования и таблица производных функций.

Пример 9. . Решение:

По свойству дифференцирования сложной функции вначале находим производную натурального логарифма и домножаем на производную подлогарифмической функции: Производная суммы равна сумме производных и константу можно выносить за знак производной, поэтому имеем: Знаменатель дроби можно свернуть по формуле квадрат разности, а в числителе двойку вынесем как общий множитель за скобки: сокращаем:

Пример 10. . . Решение:

По свойству дифференцирования сложной функции производная от данной функции сначала берется как от арксинуса, а затем умножается на производную от корня: Производная так же берется по правилам дифференцирования сложной функции, сначала производная от корня, а затем умножается на производную от подкоренного выражения: производная разности равна разности производных, тогда

 

 

Задания

Вычислить производные, используя правила и формулы дифференцирования:

1) 6) 11)

2) 7) 12)

3) 8) 13)

4) 9) 14)

5) 10) 15)

Задания для самостоятельной работы по теме

Вычислить производные сложных функций:

 

 

Материал по дисциплине «Элементы высшей математики»

Определение 1.

Дифференцируемаяфункция называется первообразной для функции на заданном промежутке, если для всех из этого промежутка справедливо равенство .

Определение 2.

Совокупностьвсехпервообразных функции на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается символом , где -подынтегральная функция, -подынтегральное выражение, - переменная интегрирования.

Планирование и систематичность занятий

Приступая к изучению дисциплины, в первую очередь нужно ознакомиться с содержанием программы и составить план занятий, разделить материал на последовательно изучаемые темы. Эти темы можно выбрать по оглавлению методического пособия, используя методические рекомендации, указания лили программой.

Продумав последовательное изучение предмета, нужно наметить сроки работы над каждой темой в соответствии с общим планом.

После ознакомления с содержанием в каждой теме следует выделить основные вопросы. Чтобы затем в процессе изучения учебного материала ответить на них. Главное заключается не в самом процессе чтения, а в усвоении прочитанного, в умении обнаружить основное содержание темы, выделить наиболее важные факты, примеры, формулы, которые нужно заполнить.

Нужно заниматься систематически. Только при усвоении не возникают пробелы в знаниях и умениях. В математике все взаимосвязано и любое понятие основано на предшествующем, ранее изученным.

Имея план самостоятельной работы, нужно систематически его контролировать.

Конспектирование материала

Главная цель конспекта – усвоение и запоминание прочитанного.Записи нужно вести кратко и своими словами. Чем короче и отчетливее запись, тем меньше в ней механически записанных фраз, тем она лучше.

Конспекты по математике должны содержать определения, чертежи, формулировки теорем, схемы, доказательства, выводы основных формул и их объяснения.

Хорошее внешнее оформление конспекта по изученному материалу не только приучит к необходимому к работе порядку, но и позволитизбежать многочисленных ошибок, которые происходят из-за небрежных, беспорядочных записей.

В конспекте следует применять различные приемы. Облегчающие пользоваться записями: оставлять поля и свободные строки для примечаний, применять цветовую окраску, кранным цветом выделять важные места конспекта, заключать основные формулы в рамки. Располагать сравниваемый материал и справочные сведения не подряд, а столбцом, применять сокращения, но не злоупотреблять ими в ущерб понятности текста.

Нужно понимать, что ведение конспекта освобождает память от излишнего напряжения. Конспект - это основное пособие для студента при подготовке к экзаменам.

Самоконтроль

При решении задачи, доказательстве теоремы, выводе формулы следует приучаться проверять свой шаг, оценивать его разумность, рациональность, необходимость и полезность.

Приемы самоконтроля:

проверить правильность усвоения материала сравнением своих формулировок с формулировками в учебнике;

проверить результатов решения задачи по готовому решению;

проверить с помощью обратных действий.

Решив задачу, проанализируйте решение, отметьте, что нового вы при этом узнали и приобрели. Постарайтесь запомнить и усвоить те приемы, которые вы использовали. Все это пригодится при решении других задач.

После изучения темы нужно проверить и оценить проделанную работу, установить с какими результатами вы пришли УК концу изучения темы, что вы усвоили и как, а что не усвоили и почему.

 

Справочные материалы

Формулы сокращенного умножения:

1. . 5. .

2. . 6. .

3. . 7.

4. .

 

Степень. Свойства степени

Степень действительного числа а с натуральным показателем есть произведение сомножителей, каждый из которых равен а:

; ; ( раз)

1. .

2. .

3. .

4. .

 

Вопросы к экзамену по дисциплине «Элементы высшей математики»

1. Матрицы. Виды матриц. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц.

2. Определитель матрицы. Свойства определителей.

3. Обратная матрица. Вычисление обратных матриц второго и третьего порядков.

4. Алгоритм решения системы линейных уравнений в матричной форме.

5. Алгоритм решения системы линейных уравнений по формулам Крамера.

6. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

7. Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение. Вычитание, умножение и деление комплексных чисел.

8. Предел функции в точке, предел функции на бесконечность. Свойства пределов.

9. Понятие производной. Формулы и правила дифференцирования.

10. Геометрический и физический смысл производной.

11. Формулы и правила дифференцирования для сложной функции.

12. Алгоритм исследования построения графика функции.

13. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

14. Неопределенный интеграл. Свойства.

15. Непосредственное интегрирование. Формулы.

16. Интегрирование подстановкой.

17. Определенный интеграл. Свойства.

18. Геометрический смысл определенного интеграла.

19. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

20. Понятие вектора. Действия над векторами.

21. Уравнение линии на плоскости.

22. Окружность. Эллипс. Характеристики.

23. Гипербола. Характеристики.

24. Парабола. Характеристики.

 

Критерии оценки устного ответа по дисциплине

«Элементы высшей математики»

	«Удовлетворительно»	«Хорошо»	«Отлично»
Знание	Студент знает изученные термины, факты, частные приемы и алгоритмы, формулировки простейших предложений.	Студент знает определения понятий и формулировки свойств, связи и отношения между ними, обобщенные приемы учебной деятельности.	Студент знает структуры и системы отношений, принципы, методы, обобщенные приемы учебной деятельности, приемы их переноса.
Понимание	Студент знает и воспроизводит изученные термины, факты, формулы, формулировки теорем и задач, их краткую запись и иллюстрацию, доказательства, правила, цели учебных заданий, алгоритмы и частные приемы их решения, приводит примеры, иллюстрирующие абстрактные понятия и их свойства.	Студент интерпретирует словесный и графический материал, используя специальные символы и приемы, приводит контрпримеры, подводит объект под понятие или свойство, различает определения и свойства, выделяет ситуации применимости частных и специальных приемов учебной деятельности.	Студент преобразует словесный и графический материал в математические выражения и обратно, используя обобщенные связи между объектами и обобщенные приемы, выводит следствия, выделяет идеи и методы рассуждений, перестраивает известные и находит новые приемы учебной деятельности.
Умения и навыки	Студент решает простейшие задачи по данным формулам, алгоритмам, частным приемам, по образцу или по указаниям извне, использует основные математические инструменты, приборы и таблицы в заданных условиях.	Студент решает типовые и прикладные задачи в стандартных ситуациях, самостоятельно используя алгоритмы и частные приемы, таблицы, справочники.	Студент решает типовые и прикладные задачи в нестандартных ситуациях, самостоятельно используя обобщенные приемы учебной деятельности

 

Основная и дополнительная литература по дисциплине

Основная литература:

1. Математика: Учебник для ссузов / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко – М.: Дрофа, 2013.

2. Сборник задач по математике с решениями для техникумов / И.Л. Соловейчик, В.Т. Лисичкин – М., 2014

3. Конспект лекций по высшей математике (1 и 2 часть) / Д.Т. Письменный – М, 2014

4. Сборник задач по высшей математике / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный ­ М.Айрис-пресс, 2013 – 576с.

Дополнительная литература:

1. Практические занятия по математике / Н.В. Богомолов ­ М. 2010

Основы линейной алгебры

Линейные операции над матрицами (в качестве примеров рассмотрены квадратные матрицы 3 порядка)

1) Сумма матриц:

;

 

2) Произведение матрицы А на число к:

 

;

 

Умножение матриц (рассмотрено на примере квадратных матриц 2 порядка)

;

 

Свойства матриц:

- сочетательный закон;

- распределительный закон.

Важно!

 

Вычисление определителей 2 и 3 порядков

;