Тема 2 Определенный интеграл

 

Задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Формула Ньютона – Лейбница. Свойства определенного интеграла. Вычисление определенного интеграла методом замены переменной и по частям. Понятие о несобственных интегралах с бесконечными пределами интегрирования. Вычисление площадей плоских фигур. Приближенное вычисление определенного интеграла по формуле трапеций. (1, гл.11, § 11.1-11.8, 11.10; с. 283–10, 312–314, 318–321); (2, гл. 11).

Студенту необходимо рассмотреть задачу о площади криволинейной трапеции и разобраться в том, что площадь криволинейной трапеции есть предел площади S под ломанной при неограниченном приближении ломанной к заданной кривой.

Необходимо разобраться с понятием интегральной суммы, ее геометрическим смыслом и перейти к понятию определенного интеграла (1, с.283–285).

Студент должен знать, что в отличие от неопределенного интеграла, который является семейством кривых, определенный интеграл является числом и определенный интеграл вычисляется формулой Ньютона-Лейбница.

Благодаря этой формуле (1,ф.1.15) интеграл вычисляется путем нахождения приращения первообразной для данной функции на отрезке интегрирования.

Достаточное условие интегрируемости функции на отрезке – непрерывность функции на этом отрезке.

Студент должен разобраться в методах интегрирования, изучив для этого свойства определенного интеграла и теорему о среднем (1, с.289–291).

Метод интегрирования по частям позволяет расширить класс интегрируемых функций за пределы табличных интегралов(1, с. 241–245). При этом необходимо использовать приемы интегрирования по частям для неопределенного интеграла.

Метод подстановки также расширяет класс интегрируемых функций. При этом нужно помнить, что при введении новой переменной изменяются пределы интегрирования. После их изменения можно рассчитать определенный интеграл, не возвращаясь к старой переменной (1, пример 11.4), (2,с.259).

Тема 3 Несобственный интеграл

Вычисляется как интеграл с одним или с двумя неограниченными пределами. Подынтегральная функция определена и непрерывна на одном из промежутков [a;+¥), (-¥;b], [-¥;+¥].

Если несобственный интеграл сходится, то он имеет конечный предел, если не сходится, то предел его равен бесконечности (2, с.271, 272).

Для вычисления площадей плоских фигур необходимо уметь определять пределы интегрирования, если они не заданы и если площадь фигуры представляется в виде сумм или разностей криволинейных трапеций. Поэтому нужно построить кривые, ограничивающие плоские фигуры, определяют граничные условия (пределы интегрирования). Необходимо разобрать примеры (1,11.5–11.7, 11.20–11.22, с.300–304, 313), (2, с.261, примеры 11.30–11.35).

Формула трапеций применяется для приближенного вычисления определенного интеграла, когда соответствующая первообразная не вычисляется непосредственным интегрированием.

Разобрать примеры по теме (1, N 11.1–11.11, 11.18–11.22, задачи для самостоятельной работы N 11.25–11.30,11.32–11.35,11.37–11.39, 11.41, 11.42, 11.43–11.52, 11.57, 11.59), (2,11.1 а), б), в), г), д), е), 11.30–11.35, задачи для самостоятельной работы 11.2–11.28, 11.36–11.53, 11.54–11.57, 11.58–11.61, 11.62–11.71, 11.75–11.86).

Раздел II Ряды

Тема 4 Числовые ряды