Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
ГЛАВА III. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядкаСтр 1 из 3Следующая ⇒
Лекция 9 §1. Основные понятия Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию и ее производные , т.е. уравнение вида , (1.1) где - некоторая функция переменных. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, явно входящей в это уравнение. Решением дифференциального уравнения (1.1) называется функция , которая при подстановке в дифференциальное уравнение обращает его в тождество. Процесс отыскания решений дифференциального уравнения называется интегрированием уравнения. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. Дифференциальные уравнения первого порядка Общий вид уравнения первого порядка следующий: . (2.1) Если уравнение (2.1) удается разрешить относительно , то получим уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной: . (2.2) Теорема (о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка). Если в уравнении функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области содержащей точку на плоскости Oxy, то в некоторой окрестности точки существует единственное решение этого уравнения , удовлетворяющее условию: . Геометрический смысл теоремы заключается в том, что в указанной окрестности существует и притом единственная интегральная кривая уравнения проходящая через точку . Условие, что при функция должна равняться заданному числу , называется начальным условием. Оно записывается в виде или . Задача отыскания решения уравнения, удовлетворяющего начальному условию, носит название задачи Коши. Определение.Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция , (2.3) удовлетворяющая следующим условиям: 1) она является решением дифференциального уравнения при любом конкретном значении постоянной ; 2) для любых начальных условий , где можно найти такое значение , что функция удовлетворяет данному начальному условию. Равенство вида , неявно задающее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения. Решение, полученное из общего решения (интеграла) дифференциального уравнения при фиксированном С называется частным решением(интегралом) этого уравнения.
Пример экономической задачи, приводящей к дифференциальному уравнению
Задача (экономическая модель естественного роста). Пусть y(t) – объем продукции некоторой отрасли, реализованной к моменту времени t. Предположим, что вся производимая продукция реализуется по фиксированной цене p. Тогда доход отрасли к моменту времени t составит . Пусть величина инвестиций направляемых на расширение производства есть . В модели естественного роста полагают, что скорость выпуска продукции (акселерация) пропорциональна величине инвестиций, т.е. . Полагая, что величина инвестиций составляет фиксированную часть дохода, получим , где m – постоянная величина (так называемая норма инвестиций), 0< m <1. Подставляя в исходное уравнение, получим дифференциальное уравнение где Решая его с начальным условием получим частное решение .
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; просмотров: 99; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 52.15.135.63 (0.006 с.) |