Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными
Рассмотрим дифференциальное уравнение вида , (5.1) которое называется уравнением с разделяющимися переменными (здесь и в дальнейшем все функции подразумеваются непрерывными в некоторой области). Предполагая, что , преобразуем его следующим образом: . (5.2) Интегрируя левую и правую части, получим общий интеграл уравнения (5.1): . Дифференциальное уравнение типа (5.2) или вида называют уравнением с разделенными переменными. Его общий интеграл есть . Уравнение вида , (5.3) в которых коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от x и только от , также называется уравнением с разделяющимися переменными. Общий интеграл этого уравнения имеет вид . Лекция 10. §5. Однородные уравнения первого порядка Определение 1. Функция называется однородной функцией -го измерения относительно переменных x и , если при любом и любых х и у из области определения функции справедливо тождество . Определение 2. Уравнение первого порядка (6.1) называется однородным уравнением, если функция есть однородная функция нулевого измерения относительно x и . Метод решения однородного уравнения следующий. Определим новую функцию и(х) с помощью соотношения , т.е. . Тогда будем иметь . Подставляя это выражение производной в исходное уравнение, получим уравнение с разделяющимися переменными . Интегрируя, найдем . Подставляя вместо u отношение , получим общий интеграл уравнения (6.1). Замечание. Уравнение вида будет однородным в том и только в том случае, когда и являются однородными функциями одного и того же измерения. К однородным уравнениям приводятся уравнения вида . (6.2) Если , то уравнение (6.2) есть однородное. Пусть теперь и c отличны от нуля. Сделаем замену переменных , (6.3). где p и q константы, пока неизвестные. Подберем и так, чтобы выполнялись равенства . (6.4) При этом условии уравнение (6.2) становится однородным: . Решив это уравнение и, перейдя снова к x и по формулам (6.3), получим решение уравнения (6.2). Если система (6.4) не имеет решения, тогда с помощью замены уравнение (6.2) приводится к уравнению с разделяющимися переменными. §5.1. Уравнения в полных дифференциалах
Рассмотрим дифференциальное уравнение . (9.1) Предположим, что функции дифференцируемы в некоторой области .
Определение. Если левая часть уравнения (9.1) представляет собой полный дифференциал некоторой функции , то (9.1) называется уравнением в полных дифференциалах. Другими словами, уравнение (9.1) представляется в виде ; откуда, интегрируя, найдем его общий интеграл . Теорема. Для того чтобы уравнение (9.1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области выполнялось условие . Общий интеграл уравнения (9.1) имеет вид (или ). Здесь (, ) - некоторая точка из D. Лекция 11 §6. Линейные уравнения первого порядка Определение.Линейным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной вида , (7.1) где и - непрерывные функции от x. Будем искать решение уравнение (7.1) в виде произведения двух функций . Дифференцируя обе части этого равенства, находим . Подставляя полученное значение производной в уравнение (7.1.), имеем . (7.2). Выберем функцию так, чтобы . Разделяя переменные в этом дифференциальном уравнении, находим . Подставляя найденное значение в (7.2), получим . Окончательно, . Уравнения Бернулли Уравнение вида , где называется уравнением Бернулли. Уравнение Бернулли приводится к линейному дифференциальному уравнению. Для этого сделаем замену , тогда . Отсюда получим линейное дифференциальное уравнение . Найдя его общий интеграл и, подставив вместо выражение , получим общий интеграл уравнения Бернулли. Замечание. Уравнение Бернулли можно решить таким же методом, как и линейное уравнение с помощью замены .
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; просмотров: 87; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 13.58.121.131 (0.008 с.) |