Однородные линейные дифференциальные уравнения (ОЛДУ)

Рассмотрим следующие свойства однородного ЛДУ

, (3.3)

1) Если является решением ОЛДУ (3.3), С – число, то функция также является решением этого уравнения.

2) Если и являются решениями ОЛДУ (3.3), то их сумма также является решением уравнения (3.3).

3) Если функции являются решениями ОЛДУ (3.3), то их линейная комбинация

также является решением этого уравнения.

3.3. Линейная независимость функций

Определение. Функции , определенные на интервале , называются линейно независимыми на этом интервале, если соотношение

(3.4)

выполняется только при всех (т.е. если это соотношение не выполняется для отличных от нуля чисел ). Система n функций называется линейно зависимой на , если существуют числа , не все равные нулю, такие, что выполняется соотношение (3.4).

Функциональный определитель вида

называется определителем Вронского (вронскианом) n- го порядка для системы функций .

Теорема (необходимое и достаточное условие линейной независимости решений). Для того чтобы частные решения однородного ЛДУ (3.1) были линейно независимыми на , необходимо и достаточно, чтобы вронскиан, составленный их них, был отличен от нуля в любой точке интервала , т.е.

.

3.4. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n -го порядка

Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение

, (3.5)

Если n частных решений однородного ЛДУ (3.5) линейно независимы, то эта система называется фундаментальной системой решений (ФСР) уравнения (3.5).

Теорема. Если - фундаментальная система решений уравнения (3.5), то функция

(3.6)

является общим решением этого линейного дифференциального уравнения.

Понятие комплексного числа

Мнимой единицей называется такое число , квадрат которого равен -1, т.е. .

Определение.Комплексным числом называется число вида

, (3.7)

где и действительные числа, а - мнимая единица.

Запись числа в виде (3.7) называется алгебраической формой записи комплексного числа . При этом называется действительной частью числа, а - его мнимой частью. Они обозначаются через и соответственно.

Если , то является действительным числом, если же , то называется мнимым числом.

Плоскость, на которой выбрана декартова система координат с осями и , называется комплексной плоскостью.

Ось называется действительной(или вещественной) осью, на ней изображаются действительные числа. Ось называется мнимой осью, на ней изображаются мнимые числа вида . Число изображается в виде точки или в виде вектора на комплексной плоскости координатами и . Такая запись числа в виде точки (или вектора) называется декартовой (или векторной ) формой его записи. Числа и называются комплексно-сопряженными (см. рис. 1).

 

 

Рис. 1

 

 

Модулем комплексного числа называется модуль (длина) вектора изображающего это число на комплексной плоскости, т.е. .

Аргументом комплексного числа называется угол между положительным направлением действительной оси и вектором изображающим .

Любое ненулевое комплексное число можно записать в виде

,

где . Эта запись называется тригонометрической формой записи числа . (см. рис. 2)

Рис. 2

 

При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. При делении комплексных чисел их модули делятся друг на друга, а аргументы вычитаются. Если , а - целое число, то

,

т.е. при возведении комплексного числа в степень его модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на .

Определение. Корнем n-ой степени из комплексного числа называется такое число , что .

Теорема. Корней -ой степени из любого ненулевого числа ровно . Они записываются в виде

,

где . Здесь – значение арифметического корня.