Общая формулировка метода Рунге-Кутты

В 1895 г. Рунге и Хойн построили новые методы, включив один или два шага по Эйлеру. Но именно Кутта сформулировал общую схему того, что теперь называется методом Рунге-Кутты.

Основное преимущество явных методов Рунге-Кутты – возможность получить решение в следующем узле расчетной сетки на основе значений в текущем и (иногда) в предыдущих узлах. Количество задействованных таким образом точек называется числом этапов (стадий) и является важной характеристикой используемого метода.

Решение дифференциального уравнения вида производится по следующему алгоритму:

 

(2.1)

 

где - решение в текущем узле; – решение в следующем узле, отстоящем от текущего на шаг h; s – целое положительное число (число стадий или этапов); – значения производной решения на промежуточных точках, расположенных между текущим и следующим узлами; – вещественные коэффициенты, определяющие s-стадийный явный метод Рунге-Кутты (ЯМРК).

Обычно коэффициенты удовлетворяют условиям

 

или . (2.2)

 

Смысл условий в том, что все точки, в которых вычисляются f, являются приближениями первого порядка к решению. Эти условия сильно упрощают вывод условий, определяющих порядок аппроксимации для методов высокого порядка.

Метод Рунге–Кутты применим также для приближенного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пусть дана система дифференциальных уравнений

 

и начальные условия

 

.

 

Здесь под Y и F понимаются векторы

.

Задавшись некоторым шагом h и введя стандартные обозначения, положим:

 

 

Для значений Y приближенного решения в следующем узле, отстоящем от текущего на шаг h, в этом случае получим:

 

О п р е д е л е н и е п о р я д к а

 

Метод Рунге-Кутты имеет порядок p, если для достаточно гладких задач

 

, (2.3)

 

т.е. если ряды Тейлора для точного решения и для приближенного решения совпадают до члена h^p включительно.

 

О б с у ж д е н и е м е т о д о в 3-г о п о р я д к а

 

Метод Рунге-Кутты имеет порядок 3 тогда и только тогда, когда выполнены следующие равенства:

(2.5)

 

Эти выражения можно упростить, подставив в них

 

 

(2.6)

 

После упрощения, решив систему уравнений, для коэффици­ентов метода 3-го порядка получим следующие выражения

 

 

(2.7)

 

О б с у ж д е н и е м е т о д о в 4-г о п о р я д к а

 

Рассмотрим 4-стадийный метод Рунге-Кутты порядка 4. Используя предположения

 

и

 

получим следующие условия порядка:

 

 

(2.8)

 

 

или

 

(2.9)

 

При и возможны следующие четыре случая решения системы уравнений условия порядка

1) причем и

 

Тогда из первых четырех уравнений (2.9) для определения получаем

 

 

Остальные три случая с двойными узлами основаны на правиле Симпсона:

 

После того как выбраны и , получаем из уравнения g), и тогда уравнения e) и f) образуют линейную систему для определения . Наконец, из (2.6) находим .

 

Задание и порядок выполнения работы

 

1. Изучить теоретические основы метода.

2. Составить программу реализации для ЯМРК-3 и ЯМРК-4.

3. Решить вариант задачи и построить графики для приближенного решения с шагом h, проверить сходимость.

4. Вычислить и построить графики для локальных погрешностей.

5. Провести сравнительный анализ методов.

 

Варианты заданий

 

Таблица 2

 

№ п/п	Система уравнений	Начальные условия	Шаг	Отрезок
		y1(0)=1   y2(0)=0,05	0,1	[0;10]
		y1(0)=1   y2(0)=0,5	0,1	[0;10]
		y1(0)=0,5   y2(0)=1	0,1	[0;10]
		y1(0)=0,5   y2(0)=1	0,1	[0;10]
		y1(0)=1   y2(0)=0,5	0,1	[0;10]
		y1(0)=0   y2(0)=1	0,1	[0;10]
		y1(0)=0,3   y2(0)=0	0,1	[0;10]
		y1(0)=1   y2(0)=1	0,1	[0;10]

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3